Fonctions trigonométriques

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Le cercle trigonométrique et la sinusoïde, reliés par le sinus du même angle.

En seconde, cosinus et sinus étaient attachés aux angles aigus d'un triangle rectangle. Pour décrire des phénomènes périodiques — rotation, oscillation, courant alternatif, saisons — il faut les étendre à tous les réels. L'outil de cette extension est le cercle trigonométrique, sur lequel on « enroule » la droite des réels.

7.1 Le cercle trigonométrique et le radian

Définition 7.1Cercle trigonométrique

Dans un repère orthonormé $(O; , )$ , le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ , orienté dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre).

Définition 7.2Le radian

Le radian (rad) est l'unité de mesure d'angle telle que la mesure d'un angle au centre soit égale à la longueur de l'arc qu'il intercepte sur le cercle trigonométrique. Le tour complet, de circonférence $2 π$ , mesure ainsi $2 π$ radians :

$360° = 2 π rad, 180° = π rad .$

Les mesures en degrés et en radians sont proportionnelles :

$degr e ˊ s radians 00 30 \frac{π}{6} 45 \frac{π}{4} 60 \frac{π}{3} 90 \frac{π}{2} 180 π$

Le radian identifie angle et longueur d'arc : l'angle de $1$ radian intercepte un arc de longueur $1$ (le rayon). Un angle de $x$ rad intercepte un arc de longueur $x$ .

7.2 Enroulement de la droite sur le cercle

Imaginons la droite réelle comme un fil gradué, tangent au cercle au point $I (1; 0)$ , le zéro du fil posé sur $I$ . On enroule le fil : la partie positive dans le sens direct, la partie négative dans l'autre sens.

Définition 7.3Image d'un réel

L'enroulement associe à chaque réel $x$ un unique point image $M (x)$ du cercle trigonométrique : le point obtenu en parcourant, depuis $I$ , un arc de longueur $∣ x ∣$ (dans le sens direct si $x > 0$ , indirect sinon).

L'enroulement : chaque graduation du fil vert vient se poser sur le cercle. Les réels positifs s'enroulent vers le haut (sens direct), les négatifs vers le bas.

Proposition 7.4Périodicité de l'enroulement

Le cercle a pour circonférence $2 π$ : les réels $x$ et $x + 2 π$ (et plus généralement $x + 2 k π$ , $k \in Z$ ) ont la même image sur le cercle :

$M (x + 2 k π) = M (x) .$

Exemple 7.5

$M (\frac{9 π}{4}) = M (\frac{π}{4} + 2 π) = M (\frac{π}{4})$ ; de même $M (- \frac{π}{3}) = M (\frac{5 π}{3})$ .

Exercices du chapitre

Sans calculatrice, donner les valeurs exactes de corrigé
Sachant que avec, calculer, puis et corrigé
Simplifier, pour tout réel, les expressions corrigé
Résoudre dans l'équation, puis l'équation corrigé
Résoudre dans: (a); (b); (c) corrigé
Résoudre: (a) dans; (b) dans corrigé

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