Fonctions trigonométriques

Cours complet · mathématiques (première), chapitre 7 · première, spécialité mathématiques

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En seconde, cosinus et sinus étaient attachés aux angles aigus d'un triangle rectangle. Pour décrire des phénomènes périodiques — rotation, oscillation, courant alternatif, saisons — il faut les étendre à tous les réels. L'outil de cette extension est le cercle trigonométrique, sur lequel on « enroule » la droite des réels.

7.1 Le cercle trigonométrique et le radian

Définition 7.1Cercle trigonométrique

Dans un repère orthonormé $(O; , )$ , le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ , orienté dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre).

Définition 7.2Le radian

Le radian (rad) est l'unité de mesure d'angle telle que la mesure d'un angle au centre soit égale à la longueur de l'arc qu'il intercepte sur le cercle trigonométrique. Le tour complet, de circonférence $2 π$ , mesure ainsi $2 π$ radians :

$360° = 2 π rad, 180° = π rad .$

Les mesures en degrés et en radians sont proportionnelles :

$degr e ˊ s radians 00 30 \frac{π}{6} 45 \frac{π}{4} 60 \frac{π}{3} 90 \frac{π}{2} 180 π$

Le radian identifie angle et longueur d'arc : l'angle de $1$ radian intercepte un arc de longueur $1$ (le rayon). Un angle de $x$ rad intercepte un arc de longueur $x$ .

7.2 Enroulement de la droite sur le cercle

Imaginons la droite réelle comme un fil gradué, tangent au cercle au point $I (1; 0)$ , le zéro du fil posé sur $I$ . On enroule le fil : la partie positive dans le sens direct, la partie négative dans l'autre sens.

Définition 7.3Image d'un réel

L'enroulement associe à chaque réel $x$ un unique point image $M (x)$ du cercle trigonométrique : le point obtenu en parcourant, depuis $I$ , un arc de longueur $∣ x ∣$ (dans le sens direct si $x > 0$ , indirect sinon).

L'enroulement : chaque graduation du fil vert vient se poser sur le cercle. Les réels positifs s'enroulent vers le haut (sens direct), les négatifs vers le bas.

Proposition 7.4Périodicité de l'enroulement

Le cercle a pour circonférence $2 π$ : les réels $x$ et $x + 2 π$ (et plus généralement $x + 2 k π$ , $k \in Z$ ) ont la même image sur le cercle :

$M (x + 2 k π) = M (x) .$

Exemple 7.5

$M (\frac{9 π}{4}) = M (\frac{π}{4} + 2 π) = M (\frac{π}{4})$ ; de même $M (- \frac{π}{3}) = M (\frac{5 π}{3})$ .

7.3 Cosinus et sinus d'un nombre réel

Définition 7.6Cosinus et sinus

Soit $x$ un réel et $M (x)$ son image sur le cercle trigonométrique. Le cosinus et le sinus de $x$ sont les coordonnées de $M (x)$ :

$M (x) = (cos x; sin x) .$

$cos x$ se lit sur l'axe horizontal (orange), $sin x$ sur l'axe vertical (vert) : ce sont les projections du point $M (x)$ .

Proposition 7.7Premières propriétés

Pour tout réel $x$ et tout entier $k$ :

$- 1 \leq cos x \leq 1$ et $- 1 \leq sin x \leq 1$ (les coordonnées d'un point du cercle unité) ;
$cos^{2} x + sin^{2} x = 1$ (théorème de Pythagore : $O M = 1$ ) ;
$cos (x + 2 k π) = cos x$ et $sin (x + 2 k π) = sin x$ (périodicité de l'enroulement).

iRemarqueCohérence avec le triangle rectangle

Pour $x \in] 0; \frac{π}{2} [$ , le triangle formé par $O$ , le projeté $H$ de $M$ et le point $M$ est rectangle en $H$ , avec hypoténuse $O M = 1$ : le cosinus « côté adjacent sur hypoténuse » de seconde vaut $\frac{O H}{1} = O H = cos x$ . Les nouvelles définitions prolongent donc exactement celles du collège et de la seconde — mais s'appliquent désormais à tout réel, y compris négatif ou supérieur à $\frac{π}{2}$ .

7.4 Valeurs remarquables

◆Théorème 7.8Valeurs remarquables

$x cos x sin x 010 \frac{π}{6} \frac{3}{2} \frac{1}{2} \frac{π}{4} \frac{2}{2} \frac{2}{2} \frac{π}{3} \frac{1}{2} \frac{3}{2} \frac{π}{2} 01$

Démonstration de $sin \frac{π}{4}$ , $cos \frac{π}{3}$ et $sin \frac{π}{3}$ (exigible).

En $\frac{π}{4}$ : le point $M (\frac{π}{4})$ est à mi-chemin de $I$ et $J$ sur le cercle ; par symétrie par rapport à la première bissectrice, ses coordonnées sont égales : $cos \frac{π}{4} = sin \frac{π}{4}$ . La relation $cos^{2} + sin^{2} = 1$ donne $2 sin^{2} \frac{π}{4} = 1$ , et le sinus est positif dans le premier quadrant :

$sin \frac{π}{4} = cos \frac{π}{4} = \frac{1}{2} = \frac{2}{2} .$

En $\frac{π}{3}$ : considérons le triangle $O I M$ avec $M = M (\frac{π}{3})$ . Les côtés $O I$ et $O M$ sont deux rayons ( $= 1$ ) et l'angle en $O$ vaut $\frac{π}{3} = 60°$ : le triangle, isocèle avec un angle de $60°$ , est équilatéral. La hauteur issue de $M$ tombe donc au milieu de $[O; I]$ : l'abscisse de $M$ vaut

$cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2} .$

Alors $sin^{2} \frac{π}{3} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ , et le sinus est positif :

$sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2} . □$

À gauche : $M (\frac{π}{4})$ sur la bissectrice, coordonnées égales. À droite : le triangle $O I M$ équilatéral (vert), dont la hauteur tombe au milieu de $[O I]$ — d'où $cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ .

7.5 Angles associés

Proposition 7.9Angles associés

Les symétries du cercle relient les images de $x$ , $- x$ , $π - x$ et $π + x$ :

$cos (- x) = cos x, cos (π - x) = - cos x, cos (π + x) = - cos x, cos (\frac{π}{2} - x) = sin x, sin (- x) = - sin x (sym e ˊ trie / axe des abscisses) sin (π - x) = sin x (sym e ˊ trie / axe des ordonn e ˊ es) sin (π + x) = - sin x (sym e ˊ trie centrale / O) sin (\frac{π}{2} - x) = cos x (sym e ˊ trie / bissectrice y = x)$

Les quatre points se déduisent de $M (x)$ par les symétries du repère : mêmes coordonnées au signe près. Aucune formule à mémoriser : on lit le cercle.

Méthode : Utiliser les angles associés

Placer l'angle sur le cercle, repérer de quel angle remarquable il se déduit et par quelle symétrie, puis lire les signes des coordonnées. Exemples :

$cos \frac{2 π}{3} = cos (π - \frac{π}{3}) = - cos \frac{π}{3} = - \frac{1}{2}, sin (- \frac{π}{6}) = - sin \frac{π}{6} = - \frac{1}{2},$

$cos \frac{5 π}{4} = cos (π + \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}, sin \frac{5 π}{6} = sin (π - \frac{π}{6}) = \frac{1}{2} .$

7.6 Les fonctions cosinus et sinus

Définition 7.10Fonctions trigonométriques

Les fonctions $cos : x \mapsto cos x$ et $sin : x \mapsto sin x$ sont définies sur $R$ . Leurs courbes sont des sinusoïdes.

Proposition 7.11Parité et périodicité

$cos$ est paire ( $cos (- x) = cos x$ ) : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
$sin$ est impaire ( $sin (- x) = - sin x$ ) : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.
Les deux fonctions sont périodiques de période $2 π$ : leurs courbes sont invariantes par translation de $2 π$ le long de l'axe des abscisses ; il suffit de les connaître sur un intervalle de longueur $2 π$ .

En haut, le cosinus (pair : courbe en miroir autour de l'axe vertical) ; en bas, le sinus (impair : deux points symétriques par rapport à l'origine, en gris). Le motif se répète tous les $2 π$ : la courbe de $cos$ est d'ailleurs celle de $sin$ décalée de $\frac{π}{2}$ , puisque $cos x = sin (\frac{π}{2} - x) = sin (x + \frac{π}{2})$ .

iRemarqueDu cercle à la courbe

Quand le point $M (x)$ tourne sur le cercle à vitesse constante, son ordonnée $sin x$ monte et descend : reportée en fonction de $x$ , elle dessine la sinusoïde. Les phénomènes circulaires uniformes (roue, courant alternatif, marée idéalisée) engendrent ainsi des variations sinusoïdales du temps — d'où l'omniprésence de ces fonctions en physique.

7.7 Algorithme : $π$ par la méthode d'Archimède

Archimède encadre le périmètre du cercle par ceux de polygones réguliers inscrits, dont il double le nombre de côtés. Si $c_{n}$ est la longueur du côté du polygone inscrit à $n$ côtés (cercle de rayon $1$ ), la géométrie du doublement donne

$c_{2 n} = 2 - 4 - c_{n}^{2},$

et le demi-périmètre $\frac{n c _{n}}{2}$ approche $π$ par défaut.


from math import sqrt

def archimede(etapes):
    # Hexagone inscrit dans le cercle de rayon 1 : 6 côtés de longueur 1
    n, c = 6, 1.0
    for i in range(etapes):
        c = sqrt(2 - sqrt(4 - c*c))   # doublement du nombre de côtés
        n = 2 * n
        print(n, "côtés :", n * c / 2)

archimede(5)
# 12 côtés  : 3.105828541230249
# 24 côtés  : 3.1326286132812378
# 48 côtés  : 3.1393502030468667
# 96 côtés  : 3.14103195089051
# 192 côtés : 3.1414524722854624

iRemarque

Avec $96$ côtés — le polygone utilisé par Archimède au III^e siècle avant notre ère — on obtient $π \approx 3, 141$ , cohérent avec son célèbre encadrement $3 + \frac{10}{71} < π < 3 + \frac{1}{7}$ .

7.8 Un peu d'histoire

iRemarqueDe la corde au sinus

La trigonométrie des Anciens (Hipparque, Ptolémée) servait la géométrie, la géographie et surtout l'astronomie. Elle reposait sur la fonction corde — la longueur de la corde sous-tendant un arc — d'un maniement bien moins commode que nos sinus et cosinus, introduits par les mathématiciens indiens puis transmis et développés par les savants arabes. La présentation moderne par le cercle unité, où sinus et cosinus sont de simples coordonnées, est l'aboutissement de cette longue évolution.

7.9 Quiz interactif style NotebookLM

Un quiz interactif d'auto-évaluation à choix multiples au format NotebookLM est disponible pour ce chapitre sur la plateforme en ligne (https://adloun.net/playground).

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