Calcul vectoriel et produit scalaire

Cours · mathématiques (première), chapitre 8 · première, spécialité mathématiques · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Le produit scalaire de u et v : la projection de v sur la direction de u et l'angle θ.

Le calcul vectoriel de seconde savait dire « parallèle » (colinéarité) mais pas « perpendiculaire », ni mesurer angles et longueurs. Le produit scalaire, né au XIX^e siècle avec la notion de travail en physique, comble ce manque : c'est l'outil métrique de la géométrie vectorielle.

8.1 Définition

Définition 8.1Produit scalaire — formule du cosinus

Soit $u$ et $v$ deux vecteurs non nuls. Le produit scalaire de $u$ par $v$ est le nombre réel

$u \cdot v = u v cos θ,$

où $θ$ est l'angle formé par les deux vecteurs. Si l'un des vecteurs est nul, on pose $u \cdot v = 0$ .

iRemarque

Le résultat est un nombre (un scalaire), pas un vecteur — d'où le nom. Son signe dit tout de l'angle : positif si $θ$ est aigu, négatif si $θ$ est obtus, nul si $θ$ est droit.

Proposition 8.2Produit scalaire et projection orthogonale

Soit $u = A B$ et $v = A C$ , et $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(A B)$ . Alors

$A B \cdot A C = A B \cdot A H = {A B \times A H - A B \times A H si H est du c o ˆ t e ˊ de B, sinon.$

Projeter orthogonalement l'un des vecteurs sur l'autre ne change pas le produit scalaire.

Les deux visages de la définition : par l'angle (à gauche) ou par la projection orthogonale (à droite, $A H$ en vert) — cohérents puisque $A H = A C cos θ$ .

Exemple 8.3

Un chariot est tiré sur $10$ m par une force de $50$ N inclinée de $60°$ sur le déplacement. Le travail de la force est le produit scalaire $W = F \cdot d = 50 \times 10 \times cos 60° = 250$ J : seule compte la composante de la force le long du déplacement — c'est exactement la projection.

◆Théorème 8.4Caractérisation de l'orthogonalité

Deux vecteurs $u$ et $v$ sont orthogonaux (notation $u ⊥ v$ ) si et seulement si

$u \cdot v = 0.$

Démonstration. Pour des vecteurs non nuls, $u v \neq = 0$ : le produit scalaire est nul si et seulement si $cos θ = 0$ , c'est-à-dire $θ = \frac{π}{2}$ . Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur par convention. $□$

8.2 Symétrie, bilinéarité, carré scalaire

Proposition 8.5Règles de calcul

Pour tous vecteurs $u$ , $v$ , $w$ et tout réel $k$ :

symétrie : $u \cdot v = v \cdot u$ ;
bilinéarité : $u \cdot (v + w) = u \cdot v + u \cdot w$ et $(k u) \cdot v = k (u \cdot v)$ ;
carré scalaire : $u \cdot u = u^{2}$ (noté $u^{2}$ ), car $cos 0 = 1$ .

Le produit scalaire se manipule donc comme un produit ordinaire — c'est ce qui rend l'outil si efficace.

Exercices du chapitre

Un triangle a pour côtés, et corrigé
n° 2 corrigé
n° 3 corrigé
Déterminer le réel pour que et soient orthogonaux corrigé
n° 5 corrigé
n° 6 corrigé

La suite du cours · Tous les exercices du chapitre