Calcul vectoriel et produit scalaire

Cours complet · mathématiques (première), chapitre 8 · première, spécialité mathématiques

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Le calcul vectoriel de seconde savait dire « parallèle » (colinéarité) mais pas « perpendiculaire », ni mesurer angles et longueurs. Le produit scalaire, né au XIX^e siècle avec la notion de travail en physique, comble ce manque : c'est l'outil métrique de la géométrie vectorielle.

8.1 Définition

Définition 8.1Produit scalaire — formule du cosinus

Soit $u$ et $v$ deux vecteurs non nuls. Le produit scalaire de $u$ par $v$ est le nombre réel

$u \cdot v = u v cos θ,$

où $θ$ est l'angle formé par les deux vecteurs. Si l'un des vecteurs est nul, on pose $u \cdot v = 0$ .

iRemarque

Le résultat est un nombre (un scalaire), pas un vecteur — d'où le nom. Son signe dit tout de l'angle : positif si $θ$ est aigu, négatif si $θ$ est obtus, nul si $θ$ est droit.

Proposition 8.2Produit scalaire et projection orthogonale

Soit $u = A B$ et $v = A C$ , et $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(A B)$ . Alors

$A B \cdot A C = A B \cdot A H = {A B \times A H - A B \times A H si H est du c o ˆ t e ˊ de B, sinon.$

Projeter orthogonalement l'un des vecteurs sur l'autre ne change pas le produit scalaire.

Les deux visages de la définition : par l'angle (à gauche) ou par la projection orthogonale (à droite, $A H$ en vert) — cohérents puisque $A H = A C cos θ$ .

Exemple 8.3

Un chariot est tiré sur $10$ m par une force de $50$ N inclinée de $60°$ sur le déplacement. Le travail de la force est le produit scalaire $W = F \cdot d = 50 \times 10 \times cos 60° = 250$ J : seule compte la composante de la force le long du déplacement — c'est exactement la projection.

◆Théorème 8.4Caractérisation de l'orthogonalité

Deux vecteurs $u$ et $v$ sont orthogonaux (notation $u ⊥ v$ ) si et seulement si

$u \cdot v = 0.$

Démonstration. Pour des vecteurs non nuls, $u v \neq = 0$ : le produit scalaire est nul si et seulement si $cos θ = 0$ , c'est-à-dire $θ = \frac{π}{2}$ . Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur par convention. $□$

8.2 Symétrie, bilinéarité, carré scalaire

Proposition 8.5Règles de calcul

Pour tous vecteurs $u$ , $v$ , $w$ et tout réel $k$ :

symétrie : $u \cdot v = v \cdot u$ ;
bilinéarité : $u \cdot (v + w) = u \cdot v + u \cdot w$ et $(k u) \cdot v = k (u \cdot v)$ ;
carré scalaire : $u \cdot u = u^{2}$ (noté $u^{2}$ ), car $cos 0 = 1$ .

Le produit scalaire se manipule donc comme un produit ordinaire — c'est ce qui rend l'outil si efficace.

8.3 En base orthonormée

◆Théorème 8.6Expression analytique

Dans une base orthonormée, si $u (x y)$ et $v (x^{'} y^{'})$ , alors

$u \cdot v = x x^{'} + y y^{'}, u = x^{2} + y^{2},$

et le critère d'orthogonalité s'écrit : $u ⊥ v ⟺ x x^{'} + y y^{'} = 0$ .

Démonstration. Notons $(, )$ la base : $ \cdot  =  \cdot  = 1$ (vecteurs unitaires) et $ \cdot  = 0$ (orthogonaux). En développant par bilinéarité :

$u \cdot v = (x  + y ) \cdot (x^{'}  + y^{'} ) = x x^{'} ( \cdot ) + (x y^{'} + y x^{'}) ( \cdot ) + y y^{'} ( \cdot ) = x x^{'} + y y^{'} .$

La norme s'en déduit : $u^{2} = u \cdot u = x^{2} + y^{2}$ . $□$

Exemple 8.7

$u (3 - 2)$ et $v (46)$ : $u \cdot v = 12 - 12 = 0$ — les vecteurs sont orthogonaux, sans tracer la moindre figure.

Méthode : Calculer un angle

De la définition, $cos θ = \frac{u \cdot v}{u v}$ : on calcule le produit scalaire (souvent en coordonnées) et les normes, puis $θ = cos^{- 1} (\dots)$ .

Exemple 8.8

Avec $u (12)$ et $v (31)$ : $u \cdot v = 5$ , $u = 5$ , $v = 10$ , d'où

$cos θ = \frac{5}{5 10} = \frac{5}{50} = \frac{2}{2}, θ = \frac{π}{4} .$

8.4 Produit scalaire et normes

Proposition 8.9

[Développement de

u + v^{2}

]

Pour tous vecteurs $u$ et $v$ :

$u + v^{2} = u^{2} + 2 u \cdot v + v^{2},$

d'où la formule de polarisation :

$u \cdot v = \frac{1}{2} (u + v^{2} - u^{2} - v^{2}) .$

Démonstration. Le carré scalaire se développe comme une identité remarquable, grâce à la bilinéarité et à la symétrie :

$u + v^{2} = (u + v) \cdot (u + v) = u \cdot u + u \cdot v + v \cdot u + v \cdot v = u^{2} + 2 u \cdot v + v^{2} . □$

iRemarque

La polarisation fournit la quatrième méthode de calcul d'un produit scalaire : à l'aide de normes seules. Si l'on connaît les longueurs $u$ , $v$ et $u + v$ (trois côtés d'un triangle !), le produit scalaire s'en déduit.

ImportantQuatre méthodes pour un même produit scalaire

Choisir selon les données :

projection : $A B \cdot A C = \pm A B \times A H$ — quand la figure montre un projeté simple ;
cosinus : $u v cos θ$ — quand on connaît longueurs et angle ;
coordonnées : $x x^{'} + y y^{'}$ — dès qu'un repère orthonormé est disponible ;
normes : $\frac{1}{2} (u + v^{2} - u^{2} - v^{2})$ — quand on ne connaît que des longueurs.

8.5 La formule d'Al-Kashi

◆Théorème 8.10Formule d'Al-Kashi

Dans un triangle $A B C$ , avec les notations usuelles $a = B C$ , $b = C A$ , $c = A B$ et $A$ l'angle au sommet $A$ :

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A .$

C'est le « théorème de Pythagore généralisé » : si $A = \frac{π}{2}$ , le terme correctif disparaît.

Démonstration (exigible). Par la relation de Chasles, $B C = B A + A C = A C - A B$ . Prenons le carré scalaire :

$a^{2} = B C^{2} = A C - A B^{2} = A C^{2} - 2 A C \cdot A B + A B^{2} .$

Or $A C \cdot A B = A C \times A B \times cos A = b c cos A$ . D'où

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A . □$

Exemple 8.11

Un triangle a pour côtés $b = 5$ , $c = 7$ et $A = 60°$ . Alors

$a^{2} = 25 + 49 - 2 \times 5 \times 7 \times \frac{1}{2} = 74 - 35 = 39, a = 39 \approx 6, 24.$

Réciproquement, connaissant les trois côtés, Al-Kashi donne les angles : $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ .

8.6 L'ensemble des points $M$ tels que $M A \cdot M B = 0$

Proposition 8.12Transformation de

M A \cdot M B

Soit $A$ , $B$ deux points et $I$ le milieu de $[A; B]$ . Pour tout point $M$ :

$M A \cdot M B = M I^{2} - \frac{A B ^{2}}{4} .$

Démonstration. Par Chasles, $M A = M I + I A$ et $M B = M I + I B = M I - I A$ (car $I$ est le milieu). Donc

$M A \cdot M B = (M I + I A) \cdot (M I - I A) = M I^{2} - I A^{2} = M I^{2} - \frac{A B ^{2}}{4} . □$

◆Théorème 8.13Le cercle de diamètre AB

L'ensemble des points $M$ du plan tels que $M A \cdot M B = 0$ est le cercle de diamètre $[A; B]$ .

Démonstration (exigible). D'après la transformation précédente :

$M A \cdot M B = 0 ⟺ M I^{2} = \frac{A B ^{2}}{4} ⟺ M I = \frac{A B}{2} .$

C'est exactement l'appartenance au cercle de centre $I$ (milieu de $[A; B]$ ) et de rayon $\frac{A B}{2}$ : le cercle de diamètre $[A; B]$ . $□$

Vu de tout point $M$ du cercle, le diamètre $[A B]$ sous-tend un angle droit : on retrouve le théorème du triangle inscrit dans un demi-cercle, attribué à Thalès.

8.7 Un peu d'histoire

iRemarque

La notion de vecteur, implicite en mécanique depuis Galilée, met des siècles à prendre sa forme actuelle. Le XIX^e siècle voit l'élaboration conjointe du produit scalaire en mathématiques (Grassmann, Hamilton) et de la notion de travail en physique : $W = F \cdot d$ est littéralement le produit scalaire fondateur. La formule d'Al-Kashi (XV^e siècle, Samarcande) généralise Pythagore aux triangles quelconques ; la caractérisation du cercle de diamètre $[A B]$ remonte, elle, à Thalès.

8.8 Approfondissements

Proposition 8.14Loi des sinus

Dans un triangle $A B C$ d'aire $S$ :

$\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} (= \frac{ab c}{2 S}) .$

Démonstration. L'aire du triangle vaut $S = \frac{1}{2} b c sin A$ (base $A B = c$ , hauteur $b sin A$ ). En écrivant la même aire depuis les trois sommets :

$2 S = b c sin A = c a sin B = ab sin C,$

puis en divisant par $ab c$ : $\frac{sin A}{a} = \frac{sin B}{b} = \frac{sin C}{c} = \frac{2 S}{ab c}$ . $□$

Proposition 8.15Les médianes concourent au centre de gravité

Les trois médianes d'un triangle $A B C$ concourent au point $G$ défini par $G A + GB + GC = 0$ , situé aux deux tiers de chaque médiane à partir du sommet.

Démonstration. Soit $A^{'}$ le milieu de $[B; C]$ et $G$ le point de $[A; A^{'}]$ tel que $A G = \frac{2}{3} A A^{'}$ . Comme $A A^{'} = \frac{1}{2} (A B + A C)$ :

$A G = \frac{1}{3} (A B + A C) ⟺ G A + GB + GC = 0,$

relation symétrique en $A$ , $B$ , $C$ : le même point $G$ est donc aux deux tiers des trois médianes — elles concourent. $□$

Exemple 8.16La droite d'Euler

Dans un triangle non équilatéral, le centre de gravité $G$ , le centre $O$ du cercle circonscrit et l'orthocentre $H$ sont alignés : c'est la droite d'Euler, et l'on a $O H = 3 O G$ . Une démonstration vectorielle consiste à poser $H^{'}$ tel que $O H^{'} = O A + O B + O C$ et à vérifier, au produit scalaire, que $H^{'}$ appartient aux trois hauteurs : par exemple

$A H^{'} \cdot B C = (O B + O C) \cdot (O C - O B) = O C^{2} - O B^{2} = 0,$

car $O B = O C$ (rayons). Donc $H^{'} = H$ , et $O H = O A + O B + O C = 3 O G$ .

8.9 Quiz interactif style NotebookLM

Un quiz interactif d'auto-évaluation à choix multiples au format NotebookLM est disponible pour ce chapitre sur la plateforme en ligne (https://adloun.net/playground).

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Calcul vectoriel et produit scalaire

8.1 Définition

8.2 Symétrie, bilinéarité, carré scalaire

8.3 En base orthonormée

Méthode : Calculer un angle

8.4 Produit scalaire et normes

8.5 La formule d'Al-Kashi

8.6 L'ensemble des points M tels que MA⋅MB=0

8.7 Un peu d'histoire

8.8 Approfondissements

8.9 Quiz interactif style NotebookLM

8.6 L'ensemble des points $M$ tels que $M A \cdot M B = 0$