Géométrie repérée

Cours complet · mathématiques (première), chapitre 9 · première, spécialité mathématiques

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Le produit scalaire du chapitre précédent enrichit la géométrie repérée de seconde : on sait désormais traiter l'orthogonalité en coordonnées. Trois objets en profitent : les droites (via leur vecteur normal), les cercles (via leur équation) et les paraboles. Dans tout ce chapitre, le plan est rapporté à un repère orthonormé.

9.1 Vecteur normal à une droite

Définition 9.1Vecteur normal

Un vecteur normal à une droite $D$ est un vecteur non nul $n$ orthogonal à un vecteur directeur de $D$ (donc à tous).

◆Théorème 9.2Lecture sur l'équation cartésienne

Soit la droite $D : a x + b y + c = 0$ (avec $(a; b) \neq = (0; 0)$ ). Alors :

$n (a b) est normal a ˋ D, u (- b a) en est un vecteur directeur.$

Démonstration. Soit $M_{0} (x_{0}; y_{0})$ et $M (x; y)$ deux points de $D$ : $a x_{0} + b y_{0} + c = 0$ et $a x + b y + c = 0$ . Par soustraction :

$a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) = 0, c’est- a ˋ -dire n \cdot M_{0} M = 0.$

Le vecteur $n (a b)$ est orthogonal à tout vecteur $M_{0} M$ porté par la droite : il est normal à $D$ . Et $u (- b a)$ vérifie $n \cdot u = - ab + ba = 0$ : orthogonal à $n$ , c'est un vecteur directeur. $□$

Sur $a x + b y + c = 0$ , les coefficients de $x$ et $y$ se lisent directement comme les coordonnées d'un vecteur normal (orange) ; le directeur (vert) s'en déduit en échangeant et en changeant un signe.

Méthode : Équation d'une droite par un point et un vecteur normal

La droite passant par $A$ et de vecteur normal $n (a b)$ est l'ensemble des points $M$ tels que

$n \cdot A M = 0 :$

on développe $a (x - x_{A}) + b (y - y_{A}) = 0$ pour obtenir l'équation cartésienne.

Exemple 9.3

Droite passant par $A (2; - 1)$ et normale à $n (35)$ :

$3 (x - 2) + 5 (y + 1) = 0 ⟺ 3 x + 5 y - 1 = 0.$

Application immédiate : la médiatrice de $[A; B]$ est la droite passant par le milieu de $[A; B]$ et normale à $A B$ ; une hauteur du triangle $A B C$ passe par un sommet et est normale au côté opposé.

9.2 Projeté orthogonal d'un point sur une droite

Méthode : Coordonnées du projeté orthogonal

Pour projeter orthogonalement le point $P$ sur la droite $D$ :

écrire l'équation de la droite $Δ$ passant par $P$ et normale à $D$ (son vecteur directeur est le vecteur normal de $D$ ) ;
résoudre le système des deux équations de droites : l'intersection est le projeté $H$ .

Le point $H$ est le point de $D$ le plus proche de $P$ : la distance $P H$ est la distance de $P$ à la droite.

Exemple 9.4

Projeté de $P (4; 3)$ sur $D : x + 2 y - 4 = 0$ . Le vecteur $n (12)$ est normal à $D$ , donc directeur de $Δ = (P H)$ : $Δ$ a pour vecteur normal $(- 2 1)$ et passe par $P$ :

$- 2 (x - 4) + (y - 3) = 0 ⟺ - 2 x + y + 5 = 0.$

Système : de la seconde équation $y = 2 x - 5$ ; en reportant : $x + 2 (2 x - 5) - 4 = 0$ , soit $5 x = 14$ , $x = \frac{14}{5}$ et $y = \frac{3}{5}$ . Donc $H (\frac{14}{5}; \frac{3}{5})$ , et la distance de $P$ à $D$ vaut

$P H = (4 - \frac{14}{5})^{2} + (3 - \frac{3}{5})^{2} = \frac{36}{25} + \frac{144}{25} = \frac{6 5}{5} .$

Le projeté orthogonal $H$ : pied de la perpendiculaire menée de $P$ à $D$ , et point de la droite le plus proche de $P$ .

9.3 Équation de cercle

◆Théorème 9.5Équation d'un cercle

Le cercle $C$ de centre $Ω (a; b)$ et de rayon $r$ a pour équation

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2} .$

Démonstration. $M (x; y)$ appartient à $C$ si et seulement si $Ω M = r$ , c'est-à-dire (les deux membres étant positifs) $Ω M^{2} = r^{2}$ : exactement $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ . $□$

Exemple 9.6

Cercle de centre $Ω (3; - 2)$ et de rayon $5$ : $(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 25$ . Le point $A (6; 2)$ lui appartient-il ? $(6 - 3)^{2} + (2 + 2)^{2} = 9 + 16 = 25$ ✓ : oui.

Méthode : Reconnaître une équation de cercle

Une équation $x^{2} + y^{2} + α x + β y + γ = 0$ se ramène par complétion du carré (chapitre 3) à

$(x + \frac{α}{2})^{2} + (y + \frac{β}{2})^{2} = \frac{α ^{2} + β ^{2}}{4} - γ .$

Selon le signe du second membre : un cercle (strictement positif), un point (nul), ou l'ensemble vide (négatif).

Exemple 9.7

$x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y - 3 = 0$ : complétion des deux carrés,

$(x - 3)^{2} - 9 + (y + 2)^{2} - 4 - 3 = 0 ⟺ (x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 16 :$

cercle de centre $Ω (3; - 2)$ et de rayon $4$ .

iRemarqueCercle de diamètre donné

Le cercle de diamètre $[A; B]$ est l'ensemble des points $M$ tels que $M A \cdot M B = 0$ (chapitre 8) : en coordonnées, $(x - x_{A}) (x - x_{B}) + (y - y_{A}) (y - y_{B}) = 0$ — une équation de cercle prête à l'emploi.

9.4 La parabole : axe de symétrie et sommet

◆Théorème 9.8Axe et sommet

La parabole d'équation $y = a x^{2} + b x + c$ ( $a \neq = 0$ ) admet :

un axe de symétrie vertical, la droite $x = - \frac{b}{2 a}$ ;
un sommet $S (- \frac{b}{2 a}; f (- \frac{b}{2 a}))$ , intersection de la courbe et de l'axe.

Démonstration. La forme canonique (chapitre 3) s'écrit $y = a (x - α)^{2} + β$ avec $α = - \frac{b}{2 a}$ . Deux abscisses symétriques $α + t$ et $α - t$ donnent la même ordonnée $a t^{2} + β$ : la droite $x = α$ est axe de symétrie. L'ordonnée extrême $β = f (α)$ est atteinte en $x = α$ : c'est le sommet. $□$

Deux points de même ordonnée (gris) sont toujours symétriques par rapport à l'axe : leurs abscisses ont pour milieu $- \frac{b}{2 a}$ . En particulier, les racines éventuelles.

Exemple 9.9

Parabole $y = 2 x^{2} - 8 x + 3$ : axe $x = \frac{8}{4} = 2$ , sommet $S (2; f (2)) = (2; - 5)$ .

9.5 Utiliser un repère pour étudier une configuration

Méthode : Choisir un bon repère

Pour démontrer une propriété d'une figure, on peut la placer dans un repère orthonormé adapté : origine en un point clé, axes portés par des côtés ou des axes de symétrie. Les hypothèses deviennent des coordonnées, la conclusion un calcul.

Exemple 9.10Une propriété du rectangle

Montrons que dans un rectangle $A B C D$ , tout point $M$ vérifie $M A^{2} + M C^{2} = M B^{2} + M D^{2}$ . Plaçons le repère sur deux côtés : $A (0; 0)$ , $B (p; 0)$ , $C (p; q)$ , $D (0; q)$ , et $M (x; y)$ quelconque :

$M A^{2} + M C^{2} = x^{2} + y^{2} + (x - p)^{2} + (y - q)^{2},$

$M B^{2} + M D^{2} = (x - p)^{2} + y^{2} + x^{2} + (y - q)^{2} .$

Les deux sommes contiennent exactement les mêmes quatre carrés : elles sont égales. $□$

9.6 Approfondissements

Exemple 9.11Le lieu des points équidistants d'un point et de l'axe des abscisses

Soit $F (0; d)$ avec $d > 0$ . Cherchons les points $M (x; y)$ équidistants de $F$ et de l'axe des abscisses. La distance de $M$ à l'axe est $∣ y ∣$ , et l'égalité $M F^{2} = y^{2}$ s'écrit

$x^{2} + (y - d)^{2} = y^{2} ⟺ x^{2} - 2 d y + d^{2} = 0 ⟺ y = \frac{x ^{2}}{2 d} + \frac{d}{2} :$

une parabole de sommet $S (0; \frac{d}{2})$ . Réciproquement, toute parabole est un tel lieu : $F$ est son foyer et l'axe sa directrice — c'est la propriété qui fait converger vers le foyer les rayons paraboliques (antennes, phares).

En tout point $M$ de la parabole, la distance au foyer $F$ (vert plein) égale la distance à l'axe des abscisses (vert pointillé).

Méthode : Intersections avec une droite parallèle à un axe

Cercle $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ et droite $x = k$ : reporter $x = k$ , il reste $(y - b)^{2} = r^{2} - (k - a)^{2}$ — deux, une ou zéro solutions selon le signe du second membre.
Parabole $y = a x^{2} + b x + c$ et droite $y = k$ : résoudre $a x^{2} + b x + c = k$ , équation du second degré — le discriminant compte les points communs.

Exemple 9.12

Cercle $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 9$ et droite $x = 3$ : $(y - 2)^{2} = 9 - 4 = 5$ , d'où $y = 2 \pm 5$ : deux points d'intersection, $(3; 2 + 5)$ et $(3; 2 - 5)$ .

9.7 Quiz interactif style NotebookLM

Un quiz interactif d'auto-évaluation à choix multiples au format NotebookLM est disponible pour ce chapitre sur la plateforme en ligne (https://adloun.net/playground).

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