Géométrie repérée

Cours · mathématiques (première), chapitre 9 · première, spécialité mathématiques · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Dans un repère, un cercle et sa tangente en un point, perpendiculaire au rayon.

Le produit scalaire du chapitre précédent enrichit la géométrie repérée de seconde : on sait désormais traiter l'orthogonalité en coordonnées. Trois objets en profitent : les droites (via leur vecteur normal), les cercles (via leur équation) et les paraboles. Dans tout ce chapitre, le plan est rapporté à un repère orthonormé.

9.1 Vecteur normal à une droite

Définition 9.1Vecteur normal

Un vecteur normal à une droite $D$ est un vecteur non nul $n$ orthogonal à un vecteur directeur de $D$ (donc à tous).

◆Théorème 9.2Lecture sur l'équation cartésienne

Soit la droite $D : a x + b y + c = 0$ (avec $(a; b) \neq = (0; 0)$ ). Alors :

$n (a b) est normal a ˋ D, u (- b a) en est un vecteur directeur.$

Démonstration. Soit $M_{0} (x_{0}; y_{0})$ et $M (x; y)$ deux points de $D$ : $a x_{0} + b y_{0} + c = 0$ et $a x + b y + c = 0$ . Par soustraction :

$a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) = 0, c’est- a ˋ -dire n \cdot M_{0} M = 0.$

Le vecteur $n (a b)$ est orthogonal à tout vecteur $M_{0} M$ porté par la droite : il est normal à $D$ . Et $u (- b a)$ vérifie $n \cdot u = - ab + ba = 0$ : orthogonal à $n$ , c'est un vecteur directeur. $□$

Sur $a x + b y + c = 0$ , les coefficients de $x$ et $y$ se lisent directement comme les coordonnées d'un vecteur normal (orange) ; le directeur (vert) s'en déduit en échangeant et en changeant un signe.

Méthode : Équation d'une droite par un point et un vecteur normal

La droite passant par $A$ et de vecteur normal $n (a b)$ est l'ensemble des points $M$ tels que

$n \cdot A M = 0 :$

on développe $a (x - x_{A}) + b (y - y_{A}) = 0$ pour obtenir l'équation cartésienne.

Exemple 9.3

Droite passant par $A (2; - 1)$ et normale à $n (35)$ :

$3 (x - 2) + 5 (y + 1) = 0 ⟺ 3 x + 5 y - 1 = 0.$

Application immédiate : la médiatrice de $[A; B]$ est la droite passant par le milieu de $[A; B]$ et normale à $A B$ ; une hauteur du triangle $A B C$ passe par un sommet et est normale au côté opposé.

9.2 Projeté orthogonal d'un point sur une droite

Méthode : Coordonnées du projeté orthogonal

Pour projeter orthogonalement le point $P$ sur la droite $D$ :

écrire l'équation de la droite $Δ$ passant par $P$ et normale à $D$ (son vecteur directeur est le vecteur normal de $D$ ) ;
résoudre le système des deux équations de droites : l'intersection est le projeté $H$ .

Le point $H$ est le point de $D$ le plus proche de $P$ : la distance $P H$ est la distance de $P$ à la droite.

Exercices du chapitre

n° 1 corrigé
Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal de P(5 ; 1) sur la… corrigé
Dans un repère orthonormé,, et corrigé
Les équations suivantes définissent-elles des cercles corrigé
Le cercle coupe-t-il l'axe des abscisses corrigé
Soit le cercle d'équation corrigé

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