Probabilités conditionnelles et indépendance

Savoir que $A$ est réalisé, c'est remplacer l'univers $\Omega$ par $A$ : on ne garde de $B$ que sa partie incluse dans $A$, et on rapporte son poids à celui de $A$. La formule $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ dit exactement cela.

De la définition découle, pour $P(A)\ne 0$ :

$$P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B).$$

On interroge $200$ élèves sur la pratique d'une langue et d'un sport :

On choisit un élève au hasard. $P(A\cap S)=\frac{72}{200}=0,36$ ; $P_A(S)=\frac{72}{120}=0,6$ (proportion de sportifs parmi les anglicistes) ; $P_S(A)=\frac{72}{110}\approx 0,655$ (proportion d'anglicistes parmi les sportifs) : les deux conditionnements ne coïncident pas.

Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ vertes ; on tire deux boules successivement sans remise. Premier niveau : $P(R_1)=\frac{3}{5}$, $P(V_1)=\frac{2}{5}$. Second niveau (conditionnel !) : $P_{R_1}(R_2)=\frac{2}{4}$, $P_{R_1}(V_2)=\frac{2}{4}$, $P_{V_1}(R_2)=\frac{3}{4}$, $P_{V_1}(V_2)=\frac{1}{4}$. Alors

$$P(R_1\cap R_2)=\frac{3}{5}\times \frac{2}{4}=\frac{3}{10},P(\text{deux couleurs diffeˊrentes})=\frac{3}{5}\times \frac{2}{4}+\frac{2}{5}\times \frac{3}{4}=\frac{3}{5}.$$

Si $A_1,\dots ,A_n$ est une partition de l'univers (avec $P(A_i)\ne 0$), alors pour tout événement $B$ :

$$P(B)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i\cap B)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)P_{A_i}(B).$$

Sur un arbre, c'est exactement la règle de la somme : $P(B)$ = somme des chemins aboutissant à $B$.

Trois machines produisent respectivement $50\%$, $30\%$ et $20\%$ des pièces d'une usine, avec des taux de défaut de $2\%$, $3\%$ et $5\%$. La probabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse ($D$) est

$$P(D)=0,5\times 0,02+0,3\times 0,03+0,2\times 0,05=0,010+0,009+0,010=0,029.$$

Une maladie touche $1\%$ d'une population. Un test la détecte chez $95\%$ des malades ($P_M(T)=0,95$, sensibilité) et se trompe chez $3\%$ des sains ($P_{\overline{M}}(T)=0,03$, faux positifs). Quelle est la probabilité d'être malade sachant que le test est positif ? Probabilités totales :

$$P(T)=P(M)P_M(T)+P(\overline{M})P_{\overline{M}}(T)=0,01\times 0,95+0,99\times 0,03=0,0095+0,0297=0,0392,$$

puis inversion :

$$P_T(M)=\frac{P(M\cap T)}{P(T)}=\frac{0,0095}{0,0392}\approx 0,24.$$

Malgré un test fiable à $95\%$, un positif n'a que 24 chances sur 100 d'être malade : la maladie étant rare, les faux positifs (les $0,0297$) dominent les vrais (les $0,0095$). Confondre $P_M(T)=0,95$ et $P_T(M)\approx 0,24$ est l'erreur classique du raisonnement probabiliste.

L'indépendance est une hypothèse du modèle : elle peut être posée au départ (deux dés « sans interaction ») ou résulter de l'analyse de la situation réelle. Ne pas la confondre avec l'incompatibilité ($A\cap B=\varnothing$) : deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants (savoir que l'un est arrivé interdit l'autre !).

Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$ et $\overline{B}$ le sont aussi (de même $\overline{A}$ et $B$, $\overline{A}$ et $\overline{B}$).

On tire une carte d'un jeu de $32$. $A$ : « un roi », $B$ : « un cœur ». $P(A\cap B)=\frac{1}{32}$ (le roi de cœur) et $P(A)P(B)=\frac{4}{32}\times \frac{8}{32}=\frac{1}{32}$ : $A$ et $B$ sont indépendants — la couleur n'apprend rien sur la hauteur. En revanche, avec $B^{\prime }$ : « une figure », $P(A\cap B^{\prime })=\frac{4}{32}=\frac{1}{8}$ mais $P(A)P(B^{\prime })=\frac{1}{8}\times \frac{12}{32}=\frac{3}{64}$ : non indépendants.

On lance une pièce équilibrée puis un dé équilibré. L'univers est $\{P,F\}\times \{1,\dots ,6\}$, de $12$ couples équiprobables :

$$P((F;6))=\frac{1}{2}\times \frac{1}{6}=\frac{1}{12}.$$

Avec remise, deux tirages dans une urne sont indépendants ; sans remise, ils ne le sont pas (l'exemple de l'urne plus haut : $P_{R_1}(R_2)=\frac{2}{4}\ne P(R_2)$).

Les probabilités conditionnelles apparaissent au XVIII^e siècle dans les travaux de Bayes et de Moivre — avec des questions parfois surprenantes : « quelle est la probabilité que le soleil se lève demain, sachant qu'il s'est levé depuis le commencement du monde ? » C'est Laplace qui en élabore la notion. Omniprésentes dans la vie courante (justice, médecine, assurances), elles mènent facilement, mal utilisées, à de fausses affirmations — l'inversion illégitime des conditionnements en tête.

On lance $10$ fois une pièce équilibrée. Par indépendance, la probabilité d'obtenir dix « pile » est ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{10}=\frac{1}{1024}$, et celle d'obtenir au moins un « face » vaut, par passage au contraire,

$$1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{10}=\frac{1023}{1024}\approx 0,999.$$

Le passage au contraire transforme « au moins un » en « aucun » : réflexe essentiel.

Un pion part de $0$ sur un axe gradué ; à chaque étape il avance de $+1$ avec probabilité $\frac{1}{2}$ ou recule de $-1$ sinon, indépendamment. Après deux pas, l'arbre donne :

$$P(\text{position }2)=\frac{1}{4},P(\text{position }0)=\frac{1}{2},P(\text{position }-2)=\frac{1}{4}.$$

from random import choice

def marche(n):
    # Position finale d'une marche aléatoire de n pas
    position = 0
    for i in range(n):
        position += choice([-1, 1])
    return position

Les marches aléatoires modélisent aussi bien le jeu de pile ou face (gain cumulé) que la diffusion d'une particule ; leur étude fine relève de la terminale et au-delà.