Probabilités conditionnelles et indépendance

Cours · mathématiques (première), chapitre 10 · première, spécialité mathématiques · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Un arbre pondéré : probabilités de A et de son contraire, puis probabilités conditionnelles de B.

« Sachant que le test est positif, quelle est la probabilité d'être malade ? » Une information nouvelle modifie les probabilités : c'est l'objet du conditionnement, sous-jacent à toute modélisation probabiliste. Ce chapitre le formalise, introduit l'outil roi du lycée — l'arbre pondéré —, la formule des probabilités totales, et la notion d'indépendance.

10.1 Probabilité conditionnelle

Définition 10.1Probabilité conditionnelle

Soit $A$ et $B$ deux événements avec $P (A) \neq = 0$ . La probabilité de $B$ sachant $A$ est

$P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )} .$

iRemarqueRestreindre l'univers

Savoir que $A$ est réalisé, c'est remplacer l'univers $Ω$ par $A$ : on ne garde de $B$ que sa partie incluse dans $A$ , et on rapporte son poids à celui de $A$ . La formule $P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ dit exactement cela.

Conditionner par $A$ , c'est jeter tout ce qui est hors de $A$ : la nouvelle probabilité de $B$ est la part de $A \cap B$ dans $A$ .

Proposition 10.2Règle du produit

De la définition découle, pour $P (A) \neq = 0$ :

$P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B) .$

Méthode : Tableau croisé et tirage au sort

Quand on tire au hasard un individu dans une population décrite par un tableau croisé d'effectifs, les probabilités conditionnelles sont des proportions dans une sous-population — les fréquences conditionnelles de seconde :

$P_{A} (B) = \frac{effectif de A \cap B}{effectif de A} .$

Exemple 10.3

On interroge $200$ élèves sur la pratique d'une langue et d'un sport :

	Sportif ( $S$ )	Non sportif ( $S$ )	Total
Angliciste ( $A$ )	$72$	$48$	$120$
Hispanisant ( $A$ )	$38$	$42$	$80$
Total	$110$	$90$	$200$

On choisit un élève au hasard. $P (A \cap S) = \frac{72}{200} = 0, 36$ ; $P_{A} (S) = \frac{72}{120} = 0, 6$ (proportion de sportifs parmi les anglicistes) ; $P_{S} (A) = \frac{72}{110} \approx 0, 655$ (proportion d'anglicistes parmi les sportifs) : les deux conditionnements ne coïncident pas.

10.2 Arbres pondérés

Exercices du chapitre

La suite du cours · Tous les exercices du chapitre