Variables aléatoires réelles

Cours complet · mathématiques (première), chapitre 11 · première, spécialité mathématiques

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Combien vais-je gagner à ce jeu ? Combien de clients demain ? Très souvent, ce n'est pas l'issue d'une expérience aléatoire qui intéresse, mais un nombre qui en dépend. La variable aléatoire formalise cette idée de « nombre dépendant du hasard » ; l'espérance et l'écart type en résument le comportement moyen et la dispersion.

11.1 Notion de variable aléatoire

Définition 11.1Variable aléatoire réelle

Une variable aléatoire réelle $X$ sur un univers fini $Ω$ est une fonction définie sur $Ω$ et à valeurs réelles : à chaque issue $ω$ , elle associe un nombre $X (ω)$ .

Une variable aléatoire est une fonction : ici, sur les quatre issues de deux lancers de pièce, $X$ compte les « pile ». Deux issues distinctes ( $P F$ et $F P$ ) peuvent donner la même valeur.

Définition 11.2Événements associés

Pour un réel $a$ , on note :

${X = a}$ l'événement « $X$ prend la valeur $a$ » (l'ensemble des issues $ω$ telles que $X (ω) = a$ ) ;
${X \leq a}$ l'événement « $X$ prend une valeur inférieure ou égale à $a$ ».

Leurs probabilités se notent $P (X = a)$ et $P (X \leq a)$ .

Exemple 11.3

Deux lancers d'une pièce équilibrée, $X$ = nombre de « pile ». L'événement ${X = 1}$ est ${P F, F P}$ : $P (X = 1) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ . L'événement ${X \leq 1}$ est ${P F, F P, F F}$ : $P (X \leq 1) = \frac{3}{4}$ . En langage courant : « au plus un pile ».

11.2 Loi de probabilité d'une variable aléatoire

Définition 11.4Loi de probabilité

La loi de $X$ est la donnée de toutes les valeurs possibles $x_{1}, \dots, x_{n}$ de $X$ et de leurs probabilités $p_{i} = P (X = x_{i})$ . On la présente en tableau :

$x_{i} P (X = x_{i}) x_{1} p_{1} x_{2} p_{2} \dots \dots x_{n} p_{n} avec p_{1} + p_{2} + \dots + p_{n} = 1.$

Méthode : Déterminer une loi

Lister les valeurs possibles de $X$ .
Pour chaque valeur, identifier les issues qui la réalisent et sommer leurs probabilités (équiprobabilité, arbre, tableau…).
Contrôler que la somme des probabilités vaut $1$ .

Exemple 11.5Somme de deux dés

On lance deux dés équilibrés et $S$ désigne la somme. Les $36$ couples sont équiprobables ; en comptant les couples réalisant chaque somme :

$s P (S = s) 2 \frac{1}{36} 3 \frac{2}{36} 4 \frac{3}{36} 5 \frac{4}{36} 6 \frac{5}{36} 7 \frac{6}{36} 8 \frac{5}{36} 9 \frac{4}{36} 10 \frac{3}{36} 11 \frac{2}{36} 12 \frac{1}{36}$

Le diagramme en bâtons de la loi de $S$ : symétrique autour de $7$ , la valeur la plus probable.

11.3 Espérance

Définition 11.6Espérance

L'espérance de $X$ est la moyenne de ses valeurs pondérée par leurs probabilités :

$E (X) = p_{1} x_{1} + p_{2} x_{2} + \dots + p_{n} x_{n} = i = 1 \sum n p_{i} x_{i} .$

iRemarqueInterprétation fréquentiste

Si l'on répète l'expérience un grand nombre de fois, la moyenne des valeurs observées se rapproche de $E (X)$ (loi des grands nombres) : l'espérance est la « valeur moyenne à long terme ». C'est l'analogue probabiliste de la moyenne d'une série statistique — les probabilités remplaçant les fréquences.

Proposition 11.7Linéarité

Pour tous réels $a$ et $b$ : $E (a X + b) = a E (X) + b$ .

Démonstration. La variable $a X + b$ prend les valeurs $a x_{i} + b$ avec les probabilités $p_{i}$ :

$E (a X + b) = i \sum p_{i} (a x_{i} + b) = a i \sum p_{i} x_{i} + b i \sum p_{i} = a E (X) + b,$

car $\sum p_{i} = 1$ . $□$

Exemple 11.8Jeu équitable

Un jeu : on mise $m$ euros, on lance un dé ; le $6$ rapporte $10$ €, un résultat pair (autre que $6$ ) rembourse la mise, sinon on perd la mise. Le gain algébrique $G$ (recette moins mise) a pour loi :

$g P (G = g) 10 - m \frac{1}{6} 0 \frac{2}{6} - m \frac{3}{6} E (G) = \frac{10 - m}{6} - \frac{3 m}{6} = \frac{10 - 4 m}{6} .$

Le jeu est équitable lorsque $E (G) = 0$ , soit $m = 2, 50$ €. Pour $m > 2, 50$ , l'espérance est négative : le joueur perd en moyenne — c'est le principe de rentabilité des jeux d'argent.

11.4 Variance et écart type

Définition 11.9Variance, écart type

La variance de $X$ mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance $μ = E (X)$ :

$V (X) = E ((X - μ)^{2}) = i = 1 \sum n p_{i} (x_{i} - μ)^{2},$

et l'écart type est $σ (X) = V (X)$ (même unité que $X$ ).

Exemple 11.10

Deux loteries d'espérance nulle :

$x P - 1 \frac{1}{2} 1 \frac{1}{2} y P - 100 \frac{1}{2} 100 \frac{1}{2}$

Même espérance ( $0$ ), mais $V (X) = 1$ ( $σ = 1$ ) contre $V (Y) = 10000$ ( $σ = 100$ ) : la seconde est infiniment plus risquée. L'écart type est la mesure du risque.

Méthode : Calculer $E$ , $V$ , $σ$

$E (X) = \sum p_{i} x_{i}$ ;
$V (X) = \sum p_{i} (x_{i} - E (X))^{2}$ — ou, plus rapide, $V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2}$ (König-Huygens, démontrée en approfondissement) ;
$σ (X) = V (X)$ .

Exemple 11.11

$X$ de loi $P (X = 0) = 0, 2$ , $P (X = 2) = 0, 5$ , $P (X = 5) = 0, 3$ .

$E (X) = 0 + 1 + 1, 5 = 2, 5; E (X^{2}) = 0 + 2 + 7, 5 = 9, 5;$

$V (X) = 9, 5 - 2, 5^{2} = 3, 25; σ (X) = 3, 25 \approx 1, 80.$

11.5 Échantillonnage : moyenne d'un échantillon et espérance

Que devient la moyenne observée sur un échantillon de $n$ répétitions ? Elle fluctue d'un échantillon à l'autre, mais d'autant moins que $n$ est grand.

Proposition 11.12Fait d'expérience (admis)

Si $X$ a pour espérance $μ$ et écart type $σ$ , la moyenne $m$ d'un échantillon de taille $n$ vérifie, dans environ $95 %$ des cas :

$∣ m - μ ∣ \leq \frac{2 σ}{n} .$

L'écart typique entre moyenne observée et espérance décroît en $\frac{1}{n}$ : pour diviser l'erreur par $10$ , il faut multiplier la taille de l'échantillon par $100$ .


from random import random

def simule_X():
    # Simule la loi P(X=0)=0.2, P(X=2)=0.5, P(X=5)=0.3
    r = random()
    if r < 0.2:
        return 0
    elif r < 0.7:
        return 2
    else:
        return 5

def moyenne_echantillon(n):
    # Moyenne d'un échantillon de taille n de X
    total = 0
    for i in range(n):
        total += simule_X()
    return total / n

def proportion_ecarts(N, n, mu, sigma):
    # Proportion des N échantillons dont la moyenne s'écarte de mu
    # d'au plus 2*sigma/racine(n)
    seuil = 2 * sigma / n**0.5
    favorables = 0
    for k in range(N):
        if abs(moyenne_echantillon(n) - mu) <= seuil:
            favorables += 1
    return favorables / N

print(moyenne_echantillon(100))                      #   2.5 (fluctue)
print(proportion_ecarts(1000, 100, 2.5, 1.803))      #   0.95

Quarante moyennes d'échantillons simulés : elles fluctuent autour de $μ = E (X)$ (pointillé orange), presque toutes dans la bande $μ \pm \frac{2 σ}{n}$ (une seule sort ici — cohérent avec les $95 %$ ).

11.6 Algorithmes


def esperance(valeurs, probas):
    # E(X) pour une loi donnée par deux listes
    E = 0
    for i in range(len(valeurs)):
        E += probas[i] * valeurs[i]
    return E

def variance(valeurs, probas):
    # V(X) = somme p_i (x_i - E)^2
    E = esperance(valeurs, probas)
    V = 0
    for i in range(len(valeurs)):
        V += probas[i] * (valeurs[i] - E)**2
    return V

def ecart_type(valeurs, probas):
    return variance(valeurs, probas) ** 0.5

print(esperance([0, 2, 5], [0.2, 0.5, 0.3]))    # 2.5
print(variance([0, 2, 5], [0.2, 0.5, 0.3]))     # 3.25


def frequences_lettres(texte):
    # Fréquence d'apparition de chaque lettre a-z dans un texte
    texte = texte.lower()
    freq = {}
    total = 0
    for c in texte:
        if "a" <= c <= "z":
            freq[c] = freq.get(c, 0) + 1
            total += 1
    for c in freq:
        freq[c] = freq[c] / total
    return freq
# En français, le 'e' domine ( 17 %) ; en anglais,  13 %. La comparaison des
# profils de fréquences permet d'identifier la langue d'un texte -- et de
# casser les chiffrements par substitution.

11.7 Un peu d'histoire

iRemarque

La notion d'espérance naît avec le calcul des probabilités lui-même : Pascal (problème des partis, 1654) puis Huygens (premier traité, 1657) l'appliquent aux jeux ; Moivre, Bernoulli, Euler et d'Alembert l'étendent aux assurances et à l'astronomie. La formalisation actuelle — l'univers comme « source d'aléas », la variable aléatoire comme fonction définie sur l'univers — ne s'impose que vers 1930 (Kolmogorov), donnant enfin une définition précise à une notion utilisée depuis trois siècles.

11.8 Approfondissements

Proposition 11.13Formule de König-Huygens

$V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2} .$

Démonstration. Posons $μ = E (X)$ et développons le carré dans la définition :

$V (X) = i \sum p_{i} (x_{i} - μ)^{2} = i \sum p_{i} x_{i}^{2} - 2 μ i \sum p_{i} x_{i} + μ^{2} i \sum p_{i} = E (X^{2}) - 2 μ^{2} + μ^{2} = E (X^{2}) - μ^{2} . □$

Exemple 11.14La fonction

x \mapsto E ((X - x)^{2})

Étudions $g (x) = E ((X - x)^{2}) = \sum_{i} p_{i} (x_{i} - x)^{2}$ . En développant :

$g (x) = x^{2} - 2 E (X) x + E (X^{2}) :$

une fonction polynôme du second degré (chapitre 3) de coefficient dominant $1 > 0$ . Elle atteint son minimum en

$x = - \frac{b}{2 a} = E (X), et ce minimum vaut g (E (X)) = E (X^{2}) - E (X)^{2} = V (X) .$

Autrement dit : l'espérance est la valeur qui approche le mieux $X$ au sens du carré moyen, et la variance est l'erreur minimale commise. Ce résultat éclaire d'un coup les définitions — et l'on retrouve König-Huygens au passage.

11.9 Quiz interactif style NotebookLM

Un quiz interactif d'auto-évaluation à choix multiples au format NotebookLM est disponible pour ce chapitre sur la plateforme en ligne (https://adloun.net/playground).

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