Variables aléatoires réelles

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La loi d'une variable aléatoire discrète, en bâtons, et son espérance.

Combien vais-je gagner à ce jeu ? Combien de clients demain ? Très souvent, ce n'est pas l'issue d'une expérience aléatoire qui intéresse, mais un nombre qui en dépend. La variable aléatoire formalise cette idée de « nombre dépendant du hasard » ; l'espérance et l'écart type en résument le comportement moyen et la dispersion.

11.1 Notion de variable aléatoire

Définition 11.1Variable aléatoire réelle

Une variable aléatoire réelle $X$ sur un univers fini $Ω$ est une fonction définie sur $Ω$ et à valeurs réelles : à chaque issue $ω$ , elle associe un nombre $X (ω)$ .

Une variable aléatoire est une fonction : ici, sur les quatre issues de deux lancers de pièce, $X$ compte les « pile ». Deux issues distinctes ( $P F$ et $F P$ ) peuvent donner la même valeur.

Définition 11.2Événements associés

Pour un réel $a$ , on note :

${X = a}$ l'événement « $X$ prend la valeur $a$ » (l'ensemble des issues $ω$ telles que $X (ω) = a$ ) ;
${X \leq a}$ l'événement « $X$ prend une valeur inférieure ou égale à $a$ ».

Leurs probabilités se notent $P (X = a)$ et $P (X \leq a)$ .

Exemple 11.3

Deux lancers d'une pièce équilibrée, $X$ = nombre de « pile ». L'événement ${X = 1}$ est ${P F, F P}$ : $P (X = 1) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ . L'événement ${X \leq 1}$ est ${P F, F P, F F}$ : $P (X \leq 1) = \frac{3}{4}$ . En langage courant : « au plus un pile ».

11.2 Loi de probabilité d'une variable aléatoire

Définition 11.4Loi de probabilité

La loi de $X$ est la donnée de toutes les valeurs possibles $x_{1}, \dots, x_{n}$ de $X$ et de leurs probabilités $p_{i} = P (X = x_{i})$ . On la présente en tableau :

$x_{i} P (X = x_{i}) x_{1} p_{1} x_{2} p_{2} \dots \dots x_{n} p_{n} avec p_{1} + p_{2} + \dots + p_{n} = 1.$

Méthode : Déterminer une loi

Lister les valeurs possibles de $X$ .
Pour chaque valeur, identifier les issues qui la réalisent et sommer leurs probabilités (équiprobabilité, arbre, tableau…).
Contrôler que la somme des probabilités vaut $1$ .

Exemple 11.5Somme de deux dés

On lance deux dés équilibrés et $S$ désigne la somme. Les $36$ couples sont équiprobables ; en comptant les couples réalisant chaque somme :

$s P (S = s) 2 \frac{1}{36} 3 \frac{2}{36} 4 \frac{3}{36} 5 \frac{4}{36} 6 \frac{5}{36} 7 \frac{6}{36} 8 \frac{5}{36} 9 \frac{4}{36} 10 \frac{3}{36} 11 \frac{2}{36} 12 \frac{1}{36}$

Exercices du chapitre

Une roue de loterie comporte secteurs identiques corrigé
On lance deux dés équilibrés et l'on note X le plus grand des deux… corrigé
Un jeu coûte € de mise corrigé
Une variable aléatoire prend les valeurs, et, avec, et corrigé
n° 5 corrigé
Un assureur couvre un risque corrigé

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