Chute verticale dans un fluide

Cours · physique-chimie (2 Bac Sciences, Maroc), chapitre 11 · Maroc, 2 Bac Sciences Physiques et Sciences Mathématiques · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Lorsqu'un solide tombe dans un fluide (liquide ou gaz), il subit, en plus de son poids, la poussée d'Archimède et une force de frottement. L'application de la 2ᵉ loi de Newton conduit à une équation différentielle dont la solution tend vers une vitesse limite.

11.1 Bilan des forces

Propriété : Forces sur le solide

Un solide (de masse $m$ , volume $V$ ) en chute dans un fluide subit :

le poids $P$ , vers le bas, de valeur $P = m g$ ;
la poussée d'Archimède $F_{A}$ , vers le haut : $F_{A} = ρ_{f l u i d e} V g$ ;
la force de frottement fluide $f$ , opposée à la vitesse (vers le haut pendant la chute), modélisée par $f = k v$ ou $f = k v^{2}$ .

11.2 Équation différentielle du mouvement

En projetant la 2ᵉ loi de Newton sur un axe vertical orienté vers le bas :

Propriété : Équation différentielle (frottement $f = k v$ )

$m \frac{d v}{d t} = m g - F_{A} - k v ⟹ \frac{d v}{d t} + \frac{k}{m} v = g - \frac{F _{A}}{m}$

11.3 La vitesse limite

Définition 11.1Vitesse limite

La vitesse limite $v_{l im}$ est atteinte lorsque l'accélération s'annule ( $\frac{d v}{d t} = 0$ ) : les forces se compensent. Pour $f = k v$ :

$m g = F_{A} + k v_{l im} ⟹ v_{l im} = \frac{m g - F _{A}}{k}$

Propriété : Deux régimes

Régime initial (transitoire) : la vitesse augmente, l'accélération diminue.
Régime asymptotique (permanent) : $v = v_{l im}$ , le mouvement est rectiligne uniforme.

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