Équilibre d'un solide soumis à trois forces

Cours · physique-chimie (Tronc Commun Sciences, Maroc), chapitre 14 · Maroc, Tronc Commun Sciences · le début du chapitre, la suite sur Adloun

De nombreux objets de la vie courante restent immobiles alors qu'ils sont pourtant soumis à plusieurs forces : un tableau accroché au mur, une lampe suspendue à deux fils, une caisse posée sur une rampe. Dans bien des cas, ces objets sont en équilibre sous l'action de trois forces seulement. Étudier cette situation permet de prévoir, par le calcul ou par une construction graphique, la valeur d'une force inconnue. Ce chapitre établit les conditions d'équilibre d'un solide soumis à trois forces et présente deux méthodes de résolution : la méthode du triangle des forces et la méthode analytique.

14.1 Conditions d'équilibre d'un solide soumis à trois forces

Un solide est en équilibre lorsqu'il reste au repos dans un référentiel donné : tous ses points ont une vitesse nulle. Lorsqu'il n'est soumis qu'à trois forces $F_{1}$ , $F_{2}$ et $F_{3}$ , son équilibre impose des conditions précises à ces forces.

Propriété : Conditions d'équilibre sous trois forces

Pour qu'un solide soumis à trois forces $F_{1}$ , $F_{2}$ et $F_{3}$ soit en équilibre, ces trois forces doivent vérifier simultanément trois conditions :

elles sont coplanaires : leurs droites d'action appartiennent à un même plan ;
elles sont concourantes : leurs droites d'action se coupent en un même point ;
leur somme vectorielle est nulle :

$F_{1} + F_{2} + F_{3} = 0$

Important

Ces trois conditions sont nécessaires : si l'une d'elles n'est pas respectée, l'équilibre est impossible. En particulier, la condition $F_{1} + F_{2} + F_{3} = 0$ ne suffit pas à elle seule : des forces dont la somme est nulle mais dont les droites d'action ne sont pas concourantes feraient tourner le solide.

iRemarque

La condition « concourantes » découle des deux autres : si trois forces coplanaires de somme nulle ne passaient pas par un même point, elles produiraient un effet de rotation. C'est pourquoi, à l'équilibre, leurs lignes d'action se rencontrent toujours en un point unique.

14.2 Exemple de référence : le plan incliné

Considérons un solide $(S)$ de masse $m$ posé sur un plan incliné d'un angle $α$ par rapport à l'horizontale. Il est maintenu en équilibre par un fil parallèle à la ligne de plus grande pente. Trois forces s'exercent sur lui.

le poids $P$ , vertical, dirigé vers le bas, de valeur $P = m g$ ;
la réaction $R$ du plan incliné ;
la tension $T$ du fil, dirigée le long du plan vers le haut.

À l'équilibre, ces trois forces concourantes vérifient :

$P + R + T = 0$

iRemarque

La réaction $R$ du support se décompose en deux parties : une composante normale $R_{N}$ , perpendiculaire au plan, et une composante tangentielle $f$ , parallèle au plan, appelée force de frottement. Lorsqu'il n'y a pas de frottement, la réaction est entièrement normale : $R = R_{N}$ , donc $R$ est perpendiculaire au plan incliné.

14.3 Méthode du triangle des forces

La condition $F_{1} + F_{2} + F_{3} = 0$ a une traduction géométrique simple : en plaçant les trois vecteurs bout à bout, on doit revenir au point de départ. On obtient alors un triangle fermé.

Méthode : Résolution graphique par le triangle des forces

Faire le bilan des forces et tracer leurs droites d'action concourantes.
Choisir une échelle (par exemple $1 cm$ pour $10 N$ ).
Tracer le premier vecteur, puis, à partir de son extrémité, le deuxième, puis le troisième : à l'équilibre, l'extrémité du dernier vecteur rejoint l'origine du premier.
Le triangle étant fermé, mesurer les côtés inconnus et les convertir grâce à l'échelle.

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