Mesure et incertitudes

Cours complet · physique (première), chapitre 1 · première, spécialité physique-chimie

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Mesurer, c'est comparer — et toute mesure est entachée d'une variabilité. La classe de seconde l'a fait constater ; celle de première la quantifie avec un outil nouveau : l'incertitude-type, évaluée statistiquement (type A) ou à partir des caractéristiques de l'instrument (type B). Ce chapitre, transversal, servira dans toutes les activités expérimentales de l'année.

1.1 Variabilité de la mesure

Définition 1.1Variabilité

Lorsqu'on répète le mesurage d'une même grandeur dans des conditions identiques, les valeurs obtenues diffèrent légèrement les unes des autres : c'est la variabilité de la mesure. Elle provient de l'instrument, du protocole, de l'opérateur et de l'environnement — jamais d'une « faute » : elle est inhérente à l'acte de mesurer.

Méthode : Exploiter une série de mesures indépendantes

Une série de $N$ mesures $x_{1}, \dots, x_{N}$ s'exploite avec les outils statistiques de seconde :

l'histogramme visualise la dispersion (forme « en cloche » autour d'une valeur centrale) ;
la moyenne $x = \frac{x _{1} + \dots + x _{N}}{N}$ fournit la meilleure estimation de la grandeur ;
l'écart-type $σ$ quantifie la dispersion : plus il est petit, plus les mesures sont groupées.

Exemple 1.2

Seize mesures de la période d'un pendule (en s) :

$1, 42; 1, 45; 1, 39; 1, 44; 1, 41; 1, 43; 1, 46; 1, 40; 1, 44; 1, 42; 1, 38; 1, 45; 1, 43; 1, 41; 1, 44; 1, 43.$

Moyenne $T \approx 1, 425$ s ; écart-type expérimental $σ \approx 0, 0225$ s. L'histogramme s'entasse autour de $1, 42$ – $1, 44$ s.

L'histogramme de la série : la dispersion se voit d'un coup d'œil — les mesures se groupent autour de la moyenne, quelques-unes s'en écartent.

Capacité numérique (Python). Construire l'histogramme d'une série de mesures :


import matplotlib.pyplot as plt

mesures = [1.42, 1.45, 1.39, 1.44, 1.41, 1.43, 1.46, 1.40,
           1.44, 1.42, 1.38, 1.45, 1.43, 1.41, 1.44, 1.43]

moyenne = sum(mesures) / len(mesures)
variance = sum([(x - moyenne)**2 for x in mesures]) / (len(mesures) - 1)
print(round(moyenne, 4), round(variance**0.5, 4))   # 1.425  0.0225

plt.hist(mesures, bins=[1.375, 1.395, 1.415, 1.435, 1.455, 1.475],
         edgecolor="black")
plt.xlabel("période (s)")
plt.ylabel("effectif")
plt.show()

iRemarqueInstrument et protocole

La dispersion dépend de l'instrument (un chronomètre au centième disperse moins qu'un comptage manuel) et du protocole (mesurer $10$ périodes puis diviser par $10$ réduit l'effet du déclenchement humain). Discuter ces influences fait partie de l'exploitation d'une série de mesures. Elles n'agissent d'ailleurs pas de la même façon : le protocole et le hasard des lectures dispersent les mesures autour d'une même valeur (erreur aléatoire), tandis qu'un instrument déréglé les décale toutes dans le même sens (erreur systématique, ou biais). Répéter les mesures réduit la première, jamais la seconde.

Le centre de la cible est la valeur vraie, chaque point une mesure. Fidèle = les mesures sont groupées (peu de dispersion, donc $u$ petit) ; juste = elles sont centrées sur la valeur vraie (pas de biais). Les deux qualités sont indépendantes — d'où le deuxième cas, très reproductible et pourtant faux : une petite incertitude ne garantit pas un résultat correct.

1.2 L'incertitude-type

Définition 1.3Incertitude-type

L'incertitude-type $u (x)$ associée au résultat d'une mesure est une estimation, ayant la dimension de la grandeur mesurée, de la dispersion des valeurs que l'on pourrait raisonnablement attribuer à cette grandeur. Qualitativement : « à combien près » la valeur annoncée est digne de confiance.

Méthode : Évaluation de type A — statistique

Quand on dispose d'une série de $N$ mesures indépendantes, l'incertitude-type sur la moyenne s'évalue par

$u (x) = \frac{σ}{N},$

où $σ$ est l'écart-type de la série : multiplier le nombre de mesures par $100$ divise l'incertitude par $10$ (la racine carrée de l'échantillonnage, comme en mathématiques).

Exemple 1.4

Pour la série du pendule : $u (T) = \frac{0 , 0225}{16} = 0, 0056 \approx 0, 006$ s. Résultat : $T = 1, 425 \pm 0, 006$ s.

Méthode : Évaluation de type B — sans statistique

Quand on ne fait qu'une seule mesure, l'incertitude-type s'évalue à partir des caractéristiques de l'instrument (notice, graduation, affichage). Convention usuelle pour une plage de largeur totale $Δ$ jugée contenir la valeur (graduation, tolérance constructeur, stabilité de l'affichage) :

$u (x) = \frac{Δ}{2 3} (fournie ; souvent simplifi e ˊ e en u (x) \approx \frac{graduation}{2} en premi e ˋ re approche).$

Exemples types : règle graduée au millimètre, burette, voltmètre dont la notice donne la précision.

Exemple 1.5

Une burette est graduée tous les $0, 1$ mL : pour une lecture unique, $Δ = 0, 1$ mL et $u (V) = \frac{0 , 1}{2 3} \approx 0, 03$ mL. Un voltmètre affiche $4, 52$ V avec une précision constructeur de $\pm 1 %$ : $Δ = 2 \times 0, 045$ V et $u (U) \approx 0, 026$ V.

iRemarqueA ou B ?

Type A = plusieurs mesures, on laisse parler la statistique ; type B = une seule mesure, on fait parler l'instrument. Les deux évaluations produisent le même objet — une incertitude-type — et se combinent en terminale (incertitudes composées).

1.3 Écrire et comparer un résultat

Méthode : Écriture du résultat d'une mesure

Arrondir l'incertitude-type à un ou deux chiffres significatifs ;
arrondir la valeur mesurée au même rang décimal que l'incertitude ;
écrire $x = (valeur \pm u (x))$ unité, ou « $x = \dots$ avec $u (x) = \dots$ ».

Exemple : $T = 1, 4252$ s et $u (T) = 0, 0056$ s s'écrivent $T = 1, 425 \pm 0, 006$ s — jamais $T = 1, 4252134$ s !

Méthode : Comparer à une valeur de référence

On compare qualitativement : la valeur de référence $x_{r e ˊ f}$ est-elle compatible avec l'intervalle $[x - u; x + u]$ (ou $x \pm 2 u$ ) ? Si oui, la mesure est cohérente avec la référence ; sinon, chercher une cause : biais de protocole, instrument déréglé, modèle inadapté. (Un critère quantitatif — l'écart normalisé — attendra la terminale.)

Exemple 1.6

La période théorique du pendule étudié vaut $T_{r e ˊ f} = 1, 419$ s. Notre résultat $T = 1, 425 \pm 0, 006$ s donne l'intervalle $[1, 419; 1, 431]$ : la référence est à la limite de l'intervalle — compatible, mais on gagnerait à réduire l'incertitude (plus de mesures, meilleur chronométrage) pour trancher.

Comparer, c'est regarder si la référence tombe dans l'intervalle $[T - u; T + u]$ . En vert elle est franchement dedans, en rouge franchement dehors ; en orange, le cas de l'exemple ci-dessus — elle est sur le bord, l'expérience ne tranche pas et il faut resserrer l'incertitude.

iRemarqueChiffres significatifs dans les calculs

Le résultat d'un calcul ne peut pas être plus précis que la moins précise de ses données : on garde autant de chiffres significatifs que la donnée qui en a le moins ( $2$ ou $3$ le plus souvent), et l'on n'arrondit qu'à la fin du calcul.

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