Géométrie des Masses et Tenseur d'Inertie

Un ensemble de solides n'est un solide indéformable que si ses pièces sont immobiles les unes par rapport aux autres (mécanisme verrouillé). Un même système donne donc un solide différent pour chaque configuration : un bras de robot dans deux postures, un satellite panneaux repliés puis déployés ont des centres et des matrices d'inertie différents. Le modèle « solide indéformable » néglige aussi les déformations élastiques ; son domaine de validité se juge sur ce qu'on veut prédire.

Une symétrie matérielle porte à la fois sur la forme et sur la masse volumique : un point et son symétrique ont la même masse volumique. Un solide homogène de forme symétrique en est le cas le plus courant, mais l'homogénéité n'est pas nécessaire.

• Si $(S)$ admet un plan de symétrie matérielle $\Pi$, alors $G\in \Pi$.
• Si $(S)$ admet un axe de symétrie matérielle $\Delta$, alors $G\in \Delta$.
• Si $(S)$ admet un centre de symétrie $\Omega$, alors $G=\Omega$.

Pour un ensemble $(\Sigma )$ de solides $(S_i)$, de masses $m_i$ et de centres d'inertie $G_i$, en découpant l'intégrale de la définition sur chaque solide :

$$\begin{array}{c}m=\sum _i{m}_i,m\overrightarrow{OG}=\sum _i{m}_i\overrightarrow{O{G}_i}\text{soit}{x}_G=\frac{{\sum }_i{m}_i{x}_i}{{\sum }_i{m}_i}\text{(de meˆme pour yG et zG)}.\end{array}$$

Le centre d'inertie est le barycentre des centres d'inertie des parties (associativité). Un perçage se traite comme une pièce de masse négative : le solide percé est le solide plein moins la matière enlevée. Les sommes ${\sum }_i{m}_i{x}_i$ sont les moments statiques.

Pour un ensemble de solides $(S_i)$, l'intégrale se découpe sur chaque solide : au même point $A$ et dans la même base $\mathcal{B}$,

$$\begin{array}{c}[I(A,{\bigcup }_i{S}_i){]}_{\mathcal{B}}={\sum }_i[I(A,S_i){]}_{\mathcal{B}}.\end{array}$$

Chaque matrice $[I(A,S_i)]$ s'obtient en général à partir de la matrice de $(S_i)$ en son propre centre d'inertie $G_i$, par le théorème de Huygens, puis éventuellement par un changement de base ; un perçage compte comme une masse négative.

• Plan de symétrie matérielle $(A,{\overrightarrow{e}}_x,{\overrightarrow{e}}_y)$ ($z\to -z$) : $D=0$ et $E=0$. La matrice devient :

$$\begin{array}{c}[I(A,S)]=\left(\begin{array}{ccc}A& -F& 0\\ -F& B& 0\\ 0& 0& C\end{array}\right)\end{array}$$

• Deux plans de symétrie orthogonaux ($(A,{\overrightarrow{e}}_x,{\overrightarrow{e}}_y)$ et $(A,{\overrightarrow{e}}_x,{\overrightarrow{e}}_z)$) : la base est dite principale d'inertie en $A$, la matrice est diagonale :

$$\begin{array}{c}[I(A,S)]=\left(\begin{array}{ccc}A& 0& 0\\ 0& B& 0\\ 0& 0& C\end{array}\right)\end{array}$$

• Axe de symétrie matérielle d'ordre 2 $(A,{\overrightarrow{e}}_z)$ (le solide est invariant par le demi-tour $(x,y,z)\to (-x,-y,z)$) : $D=0$ et $E=0$, comme pour un plan de symétrie, mais $F$ survit et rien n'impose $A=B$. L'axe $(A,{\overrightarrow{e}}_z)$ est axe principal d'inertie.
• Axe de symétrie matérielle d'ordre $n\ge 3$ $(A,{\overrightarrow{e}}_z)$ (le solide est invariant par la rotation d'angle $2\pi /n$ : rotor tripale, roue à $n$ rayons, volant percé de $n$ trous régulièrement répartis) : $D=E=F=0$ et $A=B$. La matrice a la même forme que celle d'un solide de révolution, sans que le solide le soit.
• Axe de révolution $(A,{\overrightarrow{e}}_z)$ : le solide est invariant par toute rotation autour de $(A,{\overrightarrow{e}}_z)$ (cas limite $n\to \infty$), alors $A=B$ et $D=E=F=0$ :

$$\begin{array}{c}[I(A,S)]=\left(\begin{array}{ccc}A& 0& 0\\ 0& A& 0\\ 0& 0& C\end{array}\right)\end{array}$$

En résumé, tout axe de symétrie matérielle est axe principal d'inertie, et la normale à un plan de symétrie matérielle aussi.

Pour l'axe d'ordre $n\ge 3$, l'invariance s'écrit $[I(A,S)]=R[I(A,S)]R^{\mathsf{T}}$, où $R$ est la matrice de la rotation d'angle $2\pi /n$ autour de ${\overrightarrow{e}}_z$. Le bloc $\left(\begin{array}{cc}A& -F\\ -F& B\end{array}\right)$ commute avec la rotation plane d'angle $2\pi /n$, qui ne conserve aucune droite du plan : ses deux valeurs propres sont donc égales, ce qui impose $A=B$ et $F=0$ ; le vecteur $(-E,-D)$, qui doit être conservé par cette rotation, est nul. Pour $n=2$, la rotation plane vaut $-\mathrm{Id}$ et ne contraint que $D$ et $E$.

Soit $G(x_G,y_G,z_G)$ le centre d'inertie d'un solide $(S)$ de masse $m$. La matrice d'inertie en un point $A$ quelconque s'exprime en fonction de la matrice d'inertie au centre d'inertie $G$ et de la position relative $\overrightarrow{AG}=x_0{\overrightarrow{e}}_x+y_0{\overrightarrow{e}}_y+z_0{\overrightarrow{e}}_z$ selon :

$$\begin{array}{c}[I(A,S)]=[I(G,S)]+[I(A,G,m)]\end{array}$$

où $[I(A,G,m)]$ est la matrice d'inertie en $A$ d'un point matériel fictif de masse $m$ concentrée en $G$ :

$$\begin{array}{c}[I(A,G,m)]=\left(\begin{array}{ccc}m(y_0^2+z_0^2)& -m{x}_0{y}_0& -m{x}_0{z}_0\\ -m{x}_0{y}_0& m(x_0^2+z_0^2)& -m{y}_0{z}_0\\ -m{x}_0{z}_0& -m{y}_0{z}_0& m(x_0^2+y_0^2)\end{array}\right)\end{array}$$

Pour un axe : si $\Delta$ est parallèle à l'axe ${\Delta }_G$ mené par $G$, à la distance $d$, alors $I_{\Delta }=I_{{\Delta }_G}+m{d}^2$. Pour un produit : $\iiint xy\mathrm{d}m$ calculé en $A$ vaut $\iiint xy\mathrm{d}m$ calculé en $G$, plus $m{x}_0{y}_0$.

Les théorèmes de Koenig concernent le moment cinétique et l'énergie cinétique ; ils ne doivent pas être confondus avec le théorème de transport des matrices d'inertie, dit de Huygens (ou de Huygens-Steiner). La matrice en $G$ est, de toutes, celle dont les moments sont les plus petits.

Vérifier une matrice trouvée ne coûte rien et évite bien des impasses : la somme des trois moments d'inertie vaut $A+B+C=2{\iiint }_S(x^2+y^2+z^2)\mathrm{d}m$, une quantité qui ne dépend pas de la base. Elle est donc invariante par rotation : si elle change au cours d'un changement de base, le calcul est faux.

• Tige mince homogène de masse $m$, de longueur $L$ selon l'axe $(G,{\overrightarrow{e}}_x)$ :

$$\begin{array}{c}[I(G,S)]={\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& \frac{1}{12}m{L}^2& 0\\ 0& 0& \frac{1}{12}m{L}^2\end{array}\right)}_{({\overrightarrow{e}}_x,{\overrightarrow{e}}_y,{\overrightarrow{e}}_z)}\end{array}$$

• Disque mince homogène de masse $m$, de rayon $R$, d'axe $(G,{\overrightarrow{e}}_z)$ :

$$\begin{array}{c}[I(G,S)]={\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{4}m{R}^2& 0& 0\\ 0& \frac{1}{4}m{R}^2& 0\\ 0& 0& \frac{1}{2}m{R}^2\end{array}\right)}_{({\overrightarrow{e}}_x,{\overrightarrow{e}}_y,{\overrightarrow{e}}_z)}\end{array}$$

• Cylindre plein homogène de masse $m$, de rayon $R$, de hauteur $H$ selon $(G,{\overrightarrow{e}}_z)$ :

$$\begin{array}{c}[I(G,S)]={\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{4}m{R}^2+\frac{1}{12}m{H}^2& 0& 0\\ 0& \frac{1}{4}m{R}^2+\frac{1}{12}m{H}^2& 0\\ 0& 0& \frac{1}{2}m{R}^2\end{array}\right)}_{({\overrightarrow{e}}_x,{\overrightarrow{e}}_y,{\overrightarrow{e}}_z)}\end{array}$$

• Sphère pleine homogène de masse $m$, de rayon $R$ :

$$\begin{array}{c}[I(G,S)]=\left(\begin{array}{ccc}\frac{2}{5}m{R}^2& 0& 0\\ 0& \frac{2}{5}m{R}^2& 0\\ 0& 0& \frac{2}{5}m{R}^2\end{array}\right)\end{array}$$

• Parallélépipède rectangle de dimensions $a,b,c$ selon ${\overrightarrow{e}}_x,{\overrightarrow{e}}_y,{\overrightarrow{e}}_z$ :

$$\begin{array}{c}[I(G,S)]=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{12}m(b^2+c^2)& 0& 0\\ 0& \frac{1}{12}m(a^2+c^2)& 0\\ 0& 0& \frac{1}{12}m(a^2+b^2)\end{array}\right)\end{array}$$

Chacune de ces matrices a un domaine de validité : « tige mince » et « disque mince » supposent l'épaisseur négligeable devant la longueur ou le rayon (sinon, cylindre ou parallélépipède), et un solide petit devant sa distance à l'axe peut être réduit à une masse ponctuelle, ce qui néglige ses moments propres devant $m{d}^2$.

Quand la pièce est trop irrégulière pour le formulaire, ou qu'il faut contrôler la maquette numérique, on mesure son moment d'inertie par la période $T$ de petites oscillations ; les formules de période sont des données (physique de première année ou notice du banc). Le protocole se choisit selon l'objectif, c'est-à-dire selon l'axe visé :

• pendule pesant, la pièce suspendue par un axe horizontal mené par $O$, à la distance $d$ de $G$ : $T=2\pi \sqrt{J_O/(mgd)}$, puis Huygens, $J_G=J_O-m{d}^2$ ; il faut $d\ne 0$, et si $G$ est mal connu, deux suspensions à une distance connue l'une de l'autre donnent à la fois $d$ et $J_G$ (cas d'une bielle) ;
• pendule trifilaire, un plateau suspendu par trois fils verticaux de longueur $\ell$, attachés à la distance $r$ de l'axe : $T=2\pi \sqrt{J\ell /(Mg{r}^2)}$, $M$ et $J$ étant la masse et le moment de tout ce qui est suspendu ; il mesure directement autour d'un axe vertical passant par $G$ (pièce de révolution, rotor), le plateau vide puis chargé, et le moment de la pièce s'obtient par différence (ensemble de solides, même axe) ;
• pendule de torsion, $T=2\pi \sqrt{J/C}$ : la constante de torsion $C$ du fil est inconnue, on l'étalonne avec une pièce de moment connu (un disque du formulaire).

Le traitement suit toujours le même schéma. On chronomètre $N$ périodes plutôt qu'une (l'erreur de déclenchement, de l'ordre de $0,1\mathrm{s}$ à la main, se divise par $N$), et l'on répète $n$ séries : moyenne $\bar{t}$, écart-type $s$, incertitude-type de la moyenne $u=s/\sqrt{n}$. Comme $J$ est proportionnel à $T^2$, $u(J)/J=2u(T)/T$ ; les incertitudes relatives indépendantes (chronométrage, cotes, masses) se combinent en somme quadratique. Restent les erreurs de méthode, qu'aucune répétition ne réduit : une pièce décentrée de $e$ ajoute $m{e}^2$ à son moment (Huygens), et les formules de période ne valent qu'aux petites amplitudes. Un écart entre la mesure et la maquette numérique n'est significatif que s'il dépasse l'incertitude élargie.

Soit $P$ la matrice de passage de la base orthonormée ${\mathcal{B}}_1$ à la base orthonormée ${\mathcal{B}}_2$ (ses colonnes sont les composantes des vecteurs de ${\mathcal{B}}_2$ dans ${\mathcal{B}}_1$) ; $P$ est orthogonale, $P^{-1}=P^{\mathsf{T}}$. Au même point $A$ :

$$\begin{array}{c}[I(A,S){]}_{{\mathcal{B}}_1}=P[I(A,S){]}_{{\mathcal{B}}_2}{P}^{\mathsf{T}}.\end{array}$$

En particulier, si ${\mathcal{B}}_2=({\overrightarrow{e}}_x,{\overrightarrow{y}}_2,{\overrightarrow{z}}_2)$ se déduit de ${\mathcal{B}}_1=({\overrightarrow{e}}_x,{\overrightarrow{e}}_y,{\overrightarrow{e}}_z)$ par une rotation d'angle $\theta$ autour de ${\overrightarrow{e}}_x$, et si $[I(A,S){]}_{{\mathcal{B}}_2}=\mathrm{diag}(A,B,C)$, alors ${\overrightarrow{e}}_x$ reste principal et

$$\begin{array}{c}{I}_{yy}=B{\cos }^2\theta +C{\sin }^2\theta ,I_{zz}=B{\sin }^2\theta +C{\cos }^2\theta ,\\ D=\iiint yz\mathrm{d}m=(C-B)\sin \theta \cos \theta .\end{array}$$

La trace $A+B+C$ est invariante. Le moment autour d'un axe $(A,\overrightarrow{u})$ se calcule dans n'importe quelle base par $I_{(A,\overrightarrow{u})}=\overrightarrow{u}\cdot [I(A,S)]\overrightarrow{u}$.

La matrice d'inertie, symétrique réelle, se diagonalise en tout point $A$ dans une base orthonormée : c'est la base principale d'inertie en $A$ ; ses axes sont les axes principaux, et les termes diagonaux, valeurs propres de $[I(A,S)]$, les moments principaux. On les obtient :

• par les symétries, sans calcul (c'est le cas de tout le formulaire) ;
• dans un plan, quand le troisième axe est déjà principal : si le bloc du plan $({\overrightarrow{e}}_y,{\overrightarrow{e}}_z)$ porte les moments $I_{yy}$, $I_{zz}$ et le produit $D$, les axes principaux font avec $({\overrightarrow{e}}_y,{\overrightarrow{e}}_z)$ l'angle $\theta$ tel que $\tan 2\theta =\frac{2D}{I_{zz}-I_{yy}}$, et les moments principaux sont les valeurs propres du bloc ;
• dans le cas général, numériquement, par une bibliothèque : numpy.linalg.eigh rend les valeurs propres et une base orthonormée de vecteurs propres d'une matrice symétrique.