Dynamique des Solides et Principe Fondamental de la Dynamique (PFD 3D)

Cours complet · sciences industrielles (PSI), chapitre 3 · CPGE PSI (2e année)

3.1 Torseur dynamique d'un solide

Définition 3.1Torseur dynamique

Pour un solide indéformable $(S)$ de masse $m$ , de centre d'inertie $G$ , en mouvement par rapport à un repère galiléen $R_{g}$ , le torseur dynamique ${D (S / R_{g})}$ est défini en tout point $A$ par :

${D (S / R_{g})}_{A} = {D (S / R_{g}) δ (A, S / R_{g})}_{A}$

$D (S / R_{g}) = ∭_{S} Γ (P / R_{g}) d m = m Γ (G / R_{g})$ est la résultante dynamique (quantité d'accélération).
$δ (A, S / R_{g}) = ∭_{S} A P \land Γ (P / R_{g}) d m$ est le moment dynamique du solide $(S)$ par rapport à $R_{g}$ au point $A$ .

◆Théorème 3.2Calcul pratique du moment dynamique

Le moment dynamique en un point $A$ quelconque se déduit du moment cinétique par dérivation temporelle :

$δ (A, S / R_{g}) = [\frac{d σ ( A , S / R _{g} )}{d t}]_{R_{g}} + V (A / R_{g}) \land m V (G / R_{g})$

Cas particuliers fondamentaux :

Au centre d'inertie $G$ ( $V (G) \land m V (G) = 0$ ) :

$δ (G, S / R_{g}) = [\frac{d σ ( G , S / R _{g} )}{d t}]_{R_{g}} = \frac{d ( [ I ( G , S )] Ω ( S / R _{g} ) )}{d t}_{R_{g}}$

En un point $O$ fixe dans $R_{g}$ ( $V (O / R_{g}) = 0$ ) :

$δ (O, S / R_{g}) = [\frac{d σ ( O , S / R _{g} )}{d t}]_{R_{g}}$

ImportantDérivation dans la base mobile

B_{1}

Pour dériver le moment cinétique exprimé dans la base mobile $B_{1}$ liée au solide :

$[\frac{d σ}{d t}]_{R_{g}} = [\frac{d σ}{d t}]_{B_{1}} + Ω (B_{1} / R_{g}) \land σ$

Si $B_{1}$ est liée à $(S)$ (base principale en $G$ ) : $[I (G, S)]$ est constante dans $B_{1}$ , d'où les équations d'Euler :

$δ_{G x} δ_{G y} δ_{G z} = A p ˙ + (C - B) q r = B q ˙ + (A - C) p r = C r ˙ + (B - A) p q$

où $Ω (S / R_{g}) = p e_{x_{1}} + q e_{y_{1}} + r e_{z_{1}}$ .

3.2 Principe Fondamental de la Dynamique (PFD)

Le principe fondamental de la dynamique n'est pas une formule mais une égalité entre deux torseurs, et c'est ce qui en fait un outil : une seule écriture contient les six équations scalaires du problème — trois pour la résultante, trois pour le moment.

Attention

Le référentiel doit être galiléen, et cela ne va pas de soi : un repère lié à la Terre ne l'est qu'approximativement. On l'admet en CPGE, mais l'hypothèse est explicite, et elle tombe dès qu'on étudie un mouvement à grande échelle ou de longue durée.

Méthode : Appliquer le PFD sans se noyer dans les inconnues

Isoler : choisir le système, et le dire. Toute la suite en dépend.
Inventorier les actions extérieures — et seulement elles : les actions intérieures à l'ensemble isolé s'annulent deux à deux et ne doivent pas figurer au bilan.
Choisir le point de réduction et l'axe de projection de façon à éliminer les inconnues dont on ne veut pas. Projeter l'équation de moment sur l'axe d'un pivot élimine d'un coup les deux composantes de moment que la liaison transmet.
Compter : autant d'équations utiles que d'inconnues cherchées, sans quoi il faut isoler autrement.

Le choix du point et de l'axe n'est pas cosmétique : bien fait, il remplace un système de six équations par une seule.

Figure : Modélisation d'isolement dynamique et cône d'adhérence de Coulomb en 3D.

◆Théorème 3.3Énoncé général du PFD

Soit un système matériel $E$ en mouvement par rapport à un référentiel galiléen $R_{g}$ . Le torseur dynamique de $E$ est égal au torseur des actions mécaniques extérieures agissant sur $E$ :

${D (E / R_{g})} = {T (E ˉ \to E)}$

En tout point $A$ , cette égalité torsorielle équivaut à deux équations vectorielles (6 équations scalaires) :

$m Γ (G / R_{g}) δ (A, S / R_{g}) = R (E ˉ \to E) (Th e ˊ or e ˋ me de la r e ˊ sultante dynamique) = M (A, E ˉ \to E) (Th e ˊ or e ˋ me du moment dynamique)$

Figure : Principe Fondamental de la Dynamique appliqué à l'ensemble isolé

(E)

3.3 Méthodologie d'application du PFD en CPGE

Méthode : Démarche systématique pour résoudre un problème de dynamique 3D

Définir précisément le système isolé $(E)$ (solide seul ou sous-ensemble).
Préciser le référentiel galiléen d'étude $R_{g}$ et paramétrer les repères intermédiaires.
Bilan des actions mécaniques extérieures ${T (E ˉ \to E)}$ (pesanteur, liaisons, actionneurs, frottements).
Calculer le torseur dynamique ${D (E / R_{g})}$ en un point judicieusement choisi ( $G$ ou point fixe $O$ d'une liaison pivot).
Projeter le PFD sur les axes judicieux afin d'éliminer les inconnues de liaison hyperstatiques ou non désirées (théorème de l'axe de rotation pour une liaison pivot).

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>3.4 Exercices résolus

Exercice 3.1 : Pendule simple pesant

Retrouver l'équation du mouvement d'un pendule simple (masse ponctuelle $m$ au bout d'une tige sans masse de longueur $L$ ) articulé en $O$ sous l'action de la gravité $g$ .

Démonstration

Système isolé : la masse $m$ . Point fixe : $O$ . Moment cinétique en $O$ : $σ (O) = m L^{2} θ ˙ e_{z} ⟹ δ (O) = m L^{2} θ ¨ e_{z}$ . Bilan des actions en $O$ : $M (O, poids) = O G \land (- m g e_{y_{0}}) = (L u_{r}) \land (- m g e_{y_{0}}) = - m g L sin θ e_{z}$ . La réaction en $O$ a un moment nul en $O$ . Théorème du moment dynamique projeté sur $e_{z}$ : $m L^{2} θ ¨ = - m g L sin θ ⟺ θ ¨ + \frac{g}{L} sin θ = 0$ .

Exercice 3.2 : Disque entraîné par un couple moteur

Un disque de masse $m$ , rayon $R$ , en liaison pivot parfaite d'axe $(O, e_{z})$ avec le bâti, est soumis à un couple moteur constant $C_{m}$ et à un couple de frottement visqueux $C_{f} = - f ω$ . Établir la loi de vitesse $ω (t)$ .

Démonstration

Moment d'inertie : $J_{z} = \frac{1}{2} m R^{2}$ . Théorème du moment dynamique selon $(O, e_{z})$ : $J_{z} ω ˙ = C_{m} - f ω ⟺ ω ˙ + \frac{f}{J _{z}} ω = \frac{C _{m}}{J _{z}}$ . Pour $ω (0) = 0$ , la solution est $ω (t) = \frac{C _{m}}{f} (1 - e^{- t / τ})$ avec $τ = \frac{J _{z}}{f} = \frac{m R ^{2}}{2 f}$ .

Exercice 3.3 : Roulement sans glissement d'un cylindre sur plan incliné

Un cylindre plein de masse $m$ , rayon $R$ , descend un plan incliné d'un angle $α$ en roulant sans glisser en $I$ . Calculer l'accélération $x ¨$ du centre $G$ et la condition de non-glissement.

Démonstration

Théorème de la résultante selon la pente $e_{x}$ : $m x ¨ = m g sin α - T$ . Théorème du moment dynamique en $G$ selon $e_{z}$ : $J_{G} ω ˙ = R T$ avec $J_{G} = \frac{1}{2} m R^{2}$ . Condition de roulement sans glissement en $I$ : $V (I \in S /0) = 0 ⟹ x ˙ = R ω ⟹ x ¨ = R ω ˙$ . D'où $T = \frac{J _{G} x ¨}{R ^{2}} = \frac{1}{2} m x ¨$ . En injectant : $m x ¨ = m g sin α - \frac{1}{2} m x ¨ ⟹ x ¨ = \frac{2}{3} g sin α$ . L'effort tangentiel est $T = \frac{1}{3} m g sin α$ et normal $N = m g cos α$ . Condition de non-glissement de Coulomb : $T \leq f_{s} N ⟺ \frac{1}{3} tan α \leq f_{s} ⟺ tan α \leq 3 f_{s}$ .

Exercice 3.4 : Chute d'une barre s'appuyant sur deux parois lisses

Une échelle $A B$ de masse $m$ , longueur $L$ , glisse sans frottement contre un mur vertical en $A$ et sur un sol horizontal en $B$ . Établir l'équation différentielle en fonction de l'angle $θ$ avec l'horizontale.

Démonstration

$x_{G} = \frac{L}{2} cos θ, y_{G} = \frac{L}{2} sin θ$ . Attention : le point $I$ d'intersection des normales aux contacts est le CIR, c'est-à-dire un point géométrique mobile. Il n'est ni $G$ , ni un point fixe de $R_{g}$ : le théorème « Calcul pratique du moment dynamique » de ce chapitre interdit d'y écrire $δ (I) = d σ (I) / d t$ . On passe donc par $G$ , ou par l'énergie. Les deux contacts étant sans frottement, l'énergie mécanique se conserve. Avec $x ˙_{G}^{2} + y ˙_{G}^{2} = \frac{L ^{2}}{4} θ ˙^{2}$ et $J_{G} = \frac{1}{12} m L^{2}$ :

$T = \frac{1}{2} m \frac{L ^{2}}{4} θ ˙^{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{12} m L^{2} θ ˙^{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} m L^{2} θ ˙^{2}, V = m g \frac{L}{2} sin θ .$

On reconnaît $J_{I} = J_{G} + m (\frac{L}{2})^{2} = \frac{1}{3} m L^{2}$ . En dérivant $T + V = cte$ :

$\frac{1}{3} m L^{2} θ ¨ = - m g \frac{L}{2} cos θ$

sans aucun terme supplémentaire.

Exercice 3.5 : Réactions dynamiques sur les paliers d'un arbre à balourd

Un arbre cylindrique supporte une masse ponctuelle excentrée $m$ à la distance $e$ de l'axe, à mi-distance entre deux paliers $A$ et $B$ séparés de $L$ . Il tourne à vitesse $ω$ constante. Calculer les réactions dynamiques sur les paliers.

Démonstration

Accélération du centre de masse : $Γ (G) = - e ω^{2} u_{r}$ . Théorème de la résultante dynamique : $R_{A} + R_{B} + P = m (- e ω^{2} u_{r})$ . Par symétrie, la charge dynamique tournante se répartit équitablement : $R_{A, dyn} = R_{B, dyn} = - \frac{1}{2} m e ω^{2} u_{r}$ .

Exercice 3.6 : Véhicule en phase de freinage d'urgence

Un véhicule de masse $M$ , d'empattement $L$ , avec son centre d'inertie $G$ à une hauteur $h$ au-dessus du sol et à distance $a$ de l'essieu avant, freine avec une décélération $a_{frein} = γ$ . Déterminer le transfert de charge entre essieu arrière et essieu avant.

Démonstration

Théorème de la résultante selon $e_{y}$ (vertical) : $N_{av} + N_{ar} = M g$ . Théorème du moment dynamique en $G$ projeté selon $e_{z}$ : $- N_{av} a + N_{ar} (L - a) + (T_{av} + T_{ar}) h = 0$ . Comme $T_{av} + T_{ar} = M γ$ , on a : $N_{av} a - N_{ar} (L - a) = M γ h ⟹ N_{av} = M g \frac{L - a}{L} + M γ \frac{h}{L}$ . Le terme $Δ N = M γ \frac{h}{L}$ représente le transfert de charge vers l'avant proportionnel à la décélération.

Exercice 3.7 : Moment d'Euler d'un gyroscope spatial

Un rotor à symétrie de révolution ( $A = B$ ) tourne à vitesse $Ω$ propre constante autour de $e_{z_{1}}$ tout en subissant une vitesse de lacet $ω_{z} e_{z_{0}}$ . Calculer le moment dynamique en son centre de gravité $G$ .

Démonstration

$σ (G) = A ω_{x} e_{x_{1}} + A ω_{y} e_{y_{1}} + C Ω e_{z_{1}}$ . La dérivation en base mobile s'écrit $[\frac{d σ}{d t}]_{R_{g}} = [\frac{d σ}{d t}]_{B_{1}} + Ω_{rep e ˋ re} \land σ$ : le premier terme n'est pas nul en général, mais le terme prépondérant est le terme gyroscopique. D'où l'approximation : $δ (G) ≃ ω_{lacet} \land (C Ω e_{z_{1}}) = C Ω ω_{z} (e_{z_{0}} \land e_{z_{1}}) = C Ω ω_{z} sin θ e_{x_{1}}$ .

Exercice 3.8 : Corde enroulée sur un cabestan

Établir l'équation d'équilibre dynamique d'un câble frottant sur un cylindre avec un coefficient de frottement $f$ (loi d'Eytelwein $T_{2} = T_{1} e^{f α}$ ).

Démonstration

Sur un élément angulaire $d θ$ : $d T = f d N$ et $d N = T d θ$ . $\frac{d T}{T} = f d θ ⟹ \int_{T_{1}}^{T_{2}} \frac{d T}{T} = \int_{0}^{α} f d θ ⟹ T_{2} = T_{1} e^{f α}$ .

Exercice 3.9 : Basculement d'un chariot élévateur

Un chariot élévateur soulève une charge de masse $m_{c}$ à une distance $d$ de l'essieu avant. La masse du chariot est $M$ , son centre de gravité est à distance $b$ derrière l'essieu avant. Trouver la charge maximale $m_{c, max}$ avant basculement statique et dynamique.

Démonstration

Le basculement a lieu lorsque la réaction sur l'essieu arrière s'annule : $N_{ar} = 0$ . Moment en l'essieu avant : $m_{c} g d - M g b = 0 ⟹ m_{c, max} = M \frac{b}{d}$ . En cas de freinage avec décélération $γ$ , le terme d'inertie $m_{c} γ h_{c} + M γ h$ s'ajoute, réduisant la charge admissible.

Exercice 3.10 : Décollage d'une bille sur une piste circulaire

Une bille ponctuelle de masse $m$ glisse sans frottement depuis le sommet d'une sphère de rayon $R$ . À quel angle $θ_{d e ˊ c}$ par rapport à la verticale la bille quitte-t-elle la sphère ?

Démonstration

PFD en coordonnées intrinsèques : $m \frac{v ^{2}}{R} = m g cos θ - N$ . Par conservation de l'énergie mécanique : $\frac{1}{2} m v^{2} = m g R (1 - cos θ) ⟹ v^{2} = 2 g R (1 - cos θ)$ . D'où $N = m g cos θ - 2 m g (1 - cos θ) = m g (3 cos θ - 2)$ . Le décollage a lieu pour $N = 0 ⟺ cos θ_{d e ˊ c} = \frac{2}{3} ⟹ θ_{d e ˊ c} \approx 48, 2°$ .

3.5 Problèmes de concours résolus

Problème 3.1 : Dynamique de commande d'un axe d'antenne radar (Concours Mines-Ponts)

Une antenne parabolique de masse $m_{a} = 120 kg$ , de moment d'inertie $J_{a} = 45 kg □ m$ , est orientée en site $θ (t)$ par un motoréducteur à courant continu via un réducteur de rapport $r = 1/80$ et de rendement $η = 0, 85$ . L'action du vent crée un couple perturbateur résistant $C_{v} (θ) = C_{0} cos θ$ (il s'oppose au pointage).

Écrire le PFD appliqué à l'antenne autour de son axe de rotation.
Établir l'équation différentielle reliant la vitesse moteur $ω_{m} (t)$ , la tension d'induit $u (t)$ et la perturbation $C_{v}$ .
Déterminer le couple moteur nécessaire pour maintenir une accélération de pointage $θ ¨ = 2, 5 rad / s^{2}$ face à un vent extrême $C_{0} = 600 Nm$ .

Démonstration

$J_{a} θ ¨ = C_{sortie} - C_{v} (θ) - f_{a} θ ˙$ . Le signe de $C_{v}$ est négatif : le vent est un couple résistant, comme le confirme la question 3.
Avec $C_{sortie} = \frac{1}{r} η C_{m}$ et l'équation électrique $u = R i + e = R (\frac{C _{m}}{k _{t}}) + k_{e} ω_{m}$ , on obtient : $(J_{a} + \frac{η}{r ^{2}} J_{m}) θ ¨ + (f_{a} + \frac{η k _{e} k _{t}}{r ^{2} R}) θ ˙ = \frac{η k _{t}}{r R} u - C_{v}$ .
$C_{sortie,req} = J_{a} θ ¨ + C_{0} = 45 \times 2, 5 + 600 = 112, 5 + 600 = 712, 5 Nm$ . Couple moteur : $C_{m} = \frac{r}{η} C_{sortie,req} = \frac{1/80}{0 , 85} \times 712, 5 = 10, 48 Nm$ .

Problème 3.2 : Dynamique d'un simulateur de vol 6 axes (Concours Centrale-Supélec)

Une plate-forme de Stewart à 6 vérins hydrauliques entraîne une cabine de masse $M = 2500 kg$ .

Exprimer le torseur dynamique global de la cabine en son centre de masse $G$ lors d'une manœuvre combinant accélération de translation $Γ_{G}$ et accélération angulaire $Ω ˙$ .
Formuler le système matriciel reliant les 6 efforts des vérins $F_{i} = f_{i} u_{i}$ au torseur dynamique.
Établir la condition d'inversibilité de la matrice jacobienne pour garantir la commandabilité sans singularité.

Démonstration

${D (cabine / R_{0})}_{G} = ⎩ ⎨ ⎧ M Γ_{G} [I (G)] Ω ˙ + Ω \land ([I (G)] Ω) ⎭ ⎬ ⎫_{G}$ .
Le PFD donne : $\sum_{i = 1}^{6} f_{i} u_{i} + M g = M Γ_{G}$ et $\sum_{i = 1}^{6} GP_{i} \land (f_{i} u_{i}) = δ (G)$ . Sous forme matricielle : $J^{T} F = W_{dyn} - W_{grav}$ , où $J$ est la matrice jacobienne géométrique 6x6.
Les singularités correspondent à $det (J) = 0$ , configuration où la plate-forme perd des degrés de liberté ou ne peut plus équilibrer certains efforts extérieurs.

Problème 3.3 : Dynamique d'un système de boggie ferroviaire (Concours CCINP)

On étudie le mouvement de lacet d'un essieu ferroviaire conique roulant sur deux rails.

Exprimer la cinématique de contact roue-rail et les vitesses de glissement en fonction du déplacement latéral $y (t)$ et de l'angle de lacet $ψ (t)$ .
Modéliser les forces de pseudo-glissement de Kalker : $T_{x} = - κ_{x} γ_{x}$ et $T_{y} = - κ_{y} γ_{y}$ .
Écrire les équations couplées du PFD en translation latérale et rotation de lacet, et déterminer la vitesse critique de Klingel au-delà de laquelle le mouvement devient instable.

Démonstration

La conicité $γ_{0}$ des roues produit une différence de rayon de roulement $Δ R = γ_{0} y$ , d'où une vitesse de glissement longitudinal $γ_{x} = \frac{γ _{0}}{r _{0}} y \pm \frac{e}{V} ψ ˙$ .
Les forces de contact de Kalker s'opposent au glissement.
Le système différentiel couplé $M y ¨ + \dots = 0$ et $J ψ ¨ + \dots = 0$ admet une solution oscillatoire harmonique de pulsation $ω_{K} = V \frac{γ _{0}}{e r _{0}}$ . Si l'amortissement s'annule, l'essieu entre en lacet auto-oscillant dangereux.

Problème 3.4 : Freinage et antiblocage ABS d'un train d'atterrissage (Concours Banque PT)

Lors de l'atterrissage d'un avion de ligne à $V_{0} = 70 m / s$ , une roue de moment d'inertie $J$ est freinée par un couple hydraulique $C_{f} (t)$ .

Écrire l'équation dynamique de rotation de la roue sous l'action du couple de freinage $C_{f}$ et du couple d'adhérence pneumatique-piste $C_{adh} = R F_{x} (μ (λ))$ .
Analyser la courbe de frottement de Pacejka $μ (λ)$ en fonction du taux de glissement $λ = \frac{V - R ω}{V}$ .
Montrer que pour $λ > λ_{opt} \approx 15%$ , le système devient instable (blocage de roue), et expliquer la régulation par servovalve ABS.

Démonstration

$J ω ˙ = R F_{x} (λ) - C_{f}$ .
Pour $λ < λ_{opt}$ , $\frac{d μ}{d λ} > 0$ (zone stable). Pour $λ > λ_{opt}$ , $\frac{d μ}{d λ} < 0$ (zone instable avec effondrement de l'adhérence).
Dès que $ω ˙$ devient trop fortement négatif, le calculateur ABS relâche la pression de freinage pour ramener $λ$ dans la zone optimale avant de réappliquer la pression.

Problème 3.5 : Dynamique non-linéaire du gyrogroupe d'inertie (Concours X / ENS)

On étudie la toupie asymétrique libre ( $I_{1} < I_{2} < I_{3}$ ) en rotation dans l'espace sans couple extérieur (effet Dzhanibekov / théorème de la raquette de tennis).

Écrire les équations d'Euler du solide libre :

$I_{1} ω ˙_{1} I_{2} ω ˙_{2} I_{3} ω ˙_{3} = (I_{2} - I_{3}) ω_{2} ω_{3} = (I_{3} - I_{1}) ω_{3} ω_{1} = (I_{1} - I_{2}) ω_{1} ω_{2}$

Linéariser ces équations autour d'une rotation stationnaire pure selon le premier axe principal ( $Ω_{0} = Ω_{0} e_{1}$ ). Conclure sur sa stabilité.
Linéariser autour d'une rotation selon le deuxième axe intermédiaire ( $Ω_{0} = Ω_{0} e_{2}$ ). Démontrer mathématiquement l'instabilité de l'axe intermédiaire.

Démonstration

Les équations d'Euler découlent de $δ (G) = 0$ .
Autour de $e_{1}$ ( $ω_{1} = Ω_{0} + ϵ_{1}, ω_{2} = ϵ_{2}, ω_{3} = ϵ_{3}$ ) : $ϵ ¨_{2} = \frac{( I _{3} - I _{1} ) ( I _{1} - I _{2} )}{I _{2} I _{3}} Ω_{0}^{2} ϵ_{2}$ . Comme $I_{1} < I_{2} < I_{3}$ , le coefficient $\frac{( I _{3} - I _{1} ) ( I _{1} - I _{2} )}{I _{2} I _{3}} = \frac{( + ) ( - )}{+} < 0$ . L'équation est de type oscillateur harmonique stable : $ϵ ¨_{2} + ω_{0}^{2} ϵ_{2} = 0$ .
Autour de $e_{2}$ ( $ω_{2} = Ω_{0} + ϵ_{2}$ ) : $ϵ ¨_{1} = \frac{( I _{2} - I _{3} ) ( I _{1} - I _{2} )}{I _{1} I _{3}} Ω_{0}^{2} ϵ_{1} = \frac{( - ) ( - )}{+} Ω_{0}^{2} ϵ_{1} = + λ^{2} ϵ_{1} > 0$ . La solution est exponentielle croissante ( $e^{+ λ t}$ ), ce qui prouve formellement l'instabilité de la rotation autour de l'axe d'inertie intermédiaire (retournement spontané de Dzhanibekov).

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