Robustesse des Asservissements et Représentation d'État

Cours complet · sciences industrielles (PSI), chapitre 6 · CPGE PSI (2e année)

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6.1 Analyse de robustesse et fonctions de sensibilité

Définition 6.1Fonctions de sensibilité d'un asservissement

Pour un système asservi à retour unitaire de boucle ouverte $L (p) = C (p) G (p)$ :

Fonction de sensibilité nominale (sensibilité aux perturbations de sortie) :

$S (p) = \frac{1}{1 + L ( p )} = \frac{E ( p )}{R ( p )} = \frac{Y ( p )}{W _{sortie} ( p )}$

Fonction de sensibilité complémentaire (fonction de transfert en boucle fermée) :

$T (p) = \frac{L ( p )}{1 + L ( p )} = \frac{Y ( p )}{R ( p )}$

Identité fondamentale :

$S (p) + T (p) = 1 (\forall p \in C)$

Proposition 6.2Critères de robustesse fréquentielle

Pic de sensibilité $M_{s} = max_{ω} ∣ S (j ω) ∣ = ∥ S ∥_{\infty}$ . En pratique, on exige $M_{s} \leq 1, 4 a ˋ 2, 0$ ( $3 dB a ˋ 6 dB$ ).
La distance minimale entre le lieu de Nyquist de $L (j ω)$ et le point critique $- 1$ est $d_{min} = \frac{1}{M _{s}}$ .
Marge de retard : $τ_{R} = \frac{M _{φ}}{ω _{c 0 dB}}$ représente le retard pur maximal tolérable dans la boucle avant instabilité.

Figure : Analyse de robustesse au sens de Nyquist et structure de commande par retour d'état.

Définition 6.3Système linéaire continu en représentation d'état

Un système multivariable à $n$ variables d'état, $m$ entrées et $p$ sorties est décrit par le système différentiel du premier ordre :

$X ˙ (t) Y (t) = A X (t) + B U (t) (E ˊ quation d’ e ˊ tat) = C X (t) + D U (t) (E ˊ quation de sortie)$

où :

$X (t) \in R^{n}$ est le vecteur d'état (mémoire du système).
$U (t) \in R^{m}$ est le vecteur de commande (entrées).
$Y (t) \in R^{p}$ est le vecteur des mesures (sorties).
$A \in R^{n \times n}$ est la matrice dynamique, $B \in R^{n \times m}$ la matrice de commande, $C \in R^{p \times n}$ la matrice d'observation, $D \in R^{p \times m}$ la matrice d'action directe.

◆Théorème 6.4Passage à la fonction de transfert

En appliquant la transformée de Laplace avec conditions initiales nulles $X (0) = 0$ :

$pX (p) = A X (p) + B U (p) ⟹ X (p) = (p I_{n} - A)^{- 1} B U (p)$

La matrice de transfert $H (p)$ reliant $U (p)$ à $Y (p)$ s'exprime par :

$H (p) = C (p I_{n} - A)^{- 1} B + D = \frac{C adj ( p I _{n} - A ) B}{det ( p I _{n} - A )} + D$

Les pôles du système sont les valeurs propres de la matrice dynamique $A$ ( $det (p I_{n} - A) = 0$ ).

6.2 Commandabilité, observabilité et retour d'état

La représentation d'état déplace la question de la commande. En transfert, on se demandait si la boucle était stable ; en état, on se demande d'abord si l'on peut agir sur tout ce qui bouge, et si l'on peut voir tout ce qui bouge. Ce sont deux questions distinctes, et les critères de Kalman y répondent par un simple calcul de rang.

Un mode non commandable est un mode que l'entrée n'atteint pas : aucun réglage de $K$ ne le déplacera, et s'il est instable, le système est irrécupérable par retour d'état. Un mode non observable est un mode que la sortie ne révèle pas : il évolue sans qu'on le sache.

iRemarqueQuand l'état n'est pas mesuré : l'observateur

Le retour d'état $u = - K X + G r$ suppose connu le vecteur $X$ tout entier — or on ne mesure généralement que $y$ . On lui substitue alors un observateur de Luenberger : un modèle du système, simulé en parallèle, corrigé en permanence par l'écart entre la sortie mesurée et la sortie estimée. Sa dynamique se règle comme celle de la commande, par placement de pôles, et on la choisit plus rapide que celle de la boucle de commande — typiquement d'un facteur $3$ à $5$ — pour que l'estimation ait convergé avant que la commande n'en ait besoin. Cette séparation des deux réglages n'est pas une commodité : c'est un théorème.

◆Théorème 6.5Critère de Kalman pour la commandabilité et l'observabilité

Commandabilité : Le système $(A, B)$ est entièrement commandable si et seulement si la matrice de commandabilité $C$ est de rang plein $n$ :

$C = (B A B A^{2} B \dots A^{n - 1} B), rang (C) = n$

Observabilité : Le système $(A, C)$ est entièrement observable si et seulement si la matrice d'observabilité $O$ est de rang plein $n$ :

$O = C C A C A^{2} ⋮ C A^{n - 1}, rang (O) = n$

◆Théorème 6.6Commande par retour d'état (Formule d'Ackermann)

Si le système est commandable, la loi de commande par retour d'état $U (t) = - K X (t) + V (t)$ permet de placer arbitrairement les $n$ valeurs propres de la matrice en boucle fermée $(A - B K)$ .

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>6.3 Exercices résolus

Exercice 6.1 : Calcul des fonctions de sensibilité

Pour $L (p) = \frac{10}{p ( 1 + 0 , 1 p )}$ , calculer $S (p)$ et évaluer le pic de sensibilité $M_{s}$ .

Démonstration

$S (p) = \frac{1}{1 + \frac{10}{p ( 1 + 0 , 1 p )}} = \frac{p ( 1 + 0 , 1 p )}{0 , 1 p ^{2} + p + 10} = \frac{p ^{2} + 10 p}{p ^{2} + 10 p + 100}$ . $∣ S (j ω) ∣^{2} = \frac{ω ^{2} ( ω ^{2} + 100 )}{( 100 - ω ^{2} ) ^{2} + 100 ω ^{2}} = \frac{ω ^{4} + 100 ω ^{2}}{ω ^{4} - 100 ω ^{2} + 10000}$ . Pour $ω = 10$ : $∣ S (j 10) ∣ = \frac{10000 + 10000}{0 + 10000} = 2 \approx 1, 414$ ( $3 dB$ ), ce qui garantit une excellente robustesse.

Exercice 6.2 : Représentation d'état sous forme canonique de commande

Mettre sous forme d'état canonique de commande l'équation différentielle $y \dots + 6 y ¨ + 11 y ˙ + 6 y = 2 u$ .

Démonstration

On pose le vecteur d'état $X = x_{1} x_{2} x_{3} = y y ˙ y ¨$ . $x ˙_{1} = x_{2}$ , $x ˙_{2} = x_{3}$ , $x ˙_{3} = - 6 x_{1} - 11 x_{2} - 6 x_{3} + 2 u$ . $A = 00 - 6 10 - 11 01 - 6$ , $B = 002$ , $C = (100)$ , $D = 0$ .

Exercice 6.3 : Test de commandabilité d'un système d'ordre 2

Soit $A = (10 2 - 3)$ et $B = (10)$ . Le système est-il commandable ?

Démonstration

$A B = (10 2 - 3) (10) = (10)$ . Matrice de commandabilité : $C = (B A B) = (1010)$ . $det (C) = 0 ⟹ rang (C) = 1 < 2$ . Le système n'est pas commandable : la commande $u$ ne peut pas agir sur la variable d'état $x_{2}$ .

Exercice 6.4 : Synthèse d'un retour d'état pour double intégrateur

Soit $X ˙ = (0010) X + (01) u$ . Calculer $K = (k_{1} k_{2})$ pour imposer les pôles en BF à $λ_{1, 2} = - 2 \pm 2 j$ .

Démonstration

$A - B K = (0010) - (01) (k_{1} k_{2}) = (0 - k_{1} 1 - k_{2})$ . Polynôme caractéristique en BF : $det (p I - (A - B K)) = p (p + k_{2}) + k_{1} = p^{2} + k_{2} p + k_{1}$ . Polynôme désiré : $(p + 2 - 2 j) (p + 2 + 2 j) = (p + 2)^{2} + 4 = p^{2} + 4 p + 8$ . Par identification immédiate : $k_{1} = 8$ et $k_{2} = 4$ . D'où $u = - 8 x_{1} - 4 x_{2}$ .

Exercice 6.5 : Observateur d'état de Luenberger

Pour le système de l'exercice 6.4 avec mesure $y = x_{1}$ ( $C = (10)$ ), dimensionner le gain de l'observateur $L = (l_{1} l_{2})$ pour que l'erreur d'estimation converge avec des pôles à $- 10$ .

Démonstration

Dynamique de l'erreur : $e ˙ = (A - L C) e$ . $A - L C = (0010) - (l_{1} l_{2}) (10) = (- l_{1} - l_{2} 10)$ . Polynôme : $det (p I - (A - L C)) = p (p + l_{1}) + l_{2} = p^{2} + l_{1} p + l_{2}$ . Polynôme désiré : $(p + 10)^{2} = p^{2} + 20 p + 100$ . D'où $l_{1} = 20$ et $l_{2} = 100$ .

Exercice 6.6 : Marge de retard d'un système asservi

Un système corrigé a une pulsation de coupure $ω_{c 0 dB} = 25 rad / s$ et une marge de phase $M_{φ} = 4 0^{\circ}$ . Calculer la marge de retard $τ_{R}$ .

Démonstration

$M_{φ} = 4 0^{\circ} = 40 \times \frac{π}{180} = 0, 698 rad$ . $τ_{R} = \frac{M _{φ}}{ω _{c 0 dB}} = \frac{0 , 698}{25} = 0, 0279 s = 27, 9 ms$ . Si le retard de transmission réseau ou de calcul dépasse $28 ms$ , la boucle devient instable.

Exercice 6.7 : Intégrateur d'état pour annuler l'erreur statique

Comment modifier le retour d'état $u = - K X$ pour garantir une erreur statique nulle face à un échelon de consigne $r (t)$ ?

Démonstration

On ajoute une variable d'état supplémentaire intégrale $x_{i} (t) = \int_{0}^{t} (r (τ) - y (τ)) d τ ⟹ x ˙_{i} = r - C X$ . Le système étendu d'ordre $n + 1$ s'écrit $(X ˙ x ˙_{i}) = (A - C 00) (X x_{i}) + (B 0) u + (01) r$ . La loi de commande devient $u = - K X + K_{i} x_{i}$ , garantissant $ϵ_{s} = 0$ par construction.

Exercice 6.8 : Découplage de deux axes motorisés

Soit un système multivariable 2x2 $Y (p) = G (p) U (p)$ avec $G (p) = (\frac{2}{1 + p} \frac{0 , 8}{1 + 2 p} \frac{0 , 5}{1 + p} \frac{3}{1 + 2 p})$ . Calculer la matrice de découplage statique $D = G (0)^{- 1}$ .

Démonstration

$G (0) = (2 0, 8 0, 5 3)$ . $det (G (0)) = 2 \times 3 - 0, 5 \times 0, 8 = 6 - 0, 4 = 5, 6$ . $D = G (0)^{- 1} = \frac{1}{5 , 6} (3 - 0, 8 - 0, 5 2) = (0, 5357 - 0, 1429 - 0, 0893 0, 3571)$ . En pré-multipliant la commande par $D$ , le système vu par le régulateur devient diagonal $G (0) D = I_{2}$ à basse fréquence.

Exercice 6.9 : Stabilité interne et simplification pôle-zéro instable

Soit un procédé $G (p) = \frac{1}{p - 1}$ corrigé par $C (p) = \frac{p - 1}{p + 2}$ . Le système est-il stable en boucle fermée ?

Démonstration

La fonction de transfert en BF formelle est $T (p) = \frac{C G}{1 + C G} = \frac{\frac{1}{p + 2}}{1 + \frac{1}{p + 2}} = \frac{1}{p + 3}$ , qui semble stable (pôle à $- 3$ ). Cependant, la fonction de sensibilité d'entrée est $S_{in} (p) = \frac{C ( p )}{1 + C ( p ) G ( p )} = \frac{( p - 1 ) / ( p + 2 )}{( p + 3 ) / ( p + 2 )} = \frac{p - 1}{p + 3}$ , mais la réponse à une perturbation interne fait apparaître le pôle instable non observable/non commandable $p = + 1$ . Toute simplification de pôle instable dans le demi-plan droit conduit à une instabilité interne fatale.

Exercice 6.10 : Équation de Lyapunov pour la stabilité

Pour un système continu autonome $X ˙ = A X$ , énoncer le théorème de Lyapunov garantissant la stabilité asymptotique.

Démonstration

Le système $X ˙ = A X$ est asymptotiquement stable si et seulement si pour toute matrice symétrique définie positive $Q > 0$ , il existe une unique matrice symétrique définie positive $P > 0$ solution de l'équation algébrique de Lyapunov : $A^{T} P + P A = - Q$ . La fonction $V (X) = X^{T} P X$ est alors une fonction de Lyapunov stricte ( $V ˙ (X) = - X^{T} QX < 0$ ).

6.4 Problèmes de concours résolus

Problème 6.1 : Commande par retour d'état d'un pendule inversé sur chariot (Concours Mines-Ponts)

Un pendule inversé de masse $m$ , longueur $L$ , est monté sur un chariot de masse $M$ propulsé par une force $u (t)$ .

Linéariser les équations du mouvement autour de la position verticale haute $θ = 0$ .
Écrire la représentation d'état avec $X = (x θ x ˙ θ ˙)^{T}$ .
Vérifier la commandabilité et synthétiser un gain de retour d'état $K$ plaçant les 4 pôles en BF à ${- 3, - 3, - 2 + j, - 2 - j}$ .

Démonstration

Équations linéarisées : $(M + m) x ¨ + m \frac{L}{2} θ ¨ = u$ et $m \frac{L}{2} x ¨ + \frac{1}{3} m L^{2} θ ¨ = m g \frac{L}{2} θ$ .
En inversant la matrice de masse, on obtient la forme $X ˙ = A X + B u$ avec $A = 0000 00 - \frac{3 m g}{4 M + m} \frac{6 ( M + m ) g}{( 4 M + m ) L} 10000100$ .
$det (C) \neq = 0$ , le système est commandable. La formule d'Ackermann fournit le gain $K = (k_{1} k_{2} k_{3} k_{4})$ stabilisant le pendule à la verticale.

Problème 6.2 : Observateur de Kalman pour centrale inertielle MEMS (Concours Centrale-Supélec)

On estime la position $x (t)$ et la vitesse $v (t)$ d'un véhicule autonome à partir d'un accéléromètre bruité $u (t) = a (t) + w (t)$ et d'un récepteur GPS délivrant une mesure de position $y (t) = x (t) + v (t)$ .

Écrire le modèle d'état stochastique en temps continu et sa discrétisation à la période $T_{e}$ .
Formuler les équations de prédiction et de mise à jour du filtre de Kalman stationnaire.
Démontrer la convergence optimale de la variance de l'erreur d'estimation.

Démonstration

$X_{k + 1} = (10 T_{e} 1) X_{k} + (T_{e}^{2} /2 T_{e}) u_{k} + W_{k}$ et $Y_{k} = (10) X_{k} + V_{k}$ .
Gain de Kalman : $L = P C^{T} (C P C^{T} + R)^{- 1}$ .
La covariance $P$ résout l'équation de Riccati algébrique discrète (DARE), garantissant l'estimateur de variance minimale.

Problème 6.3 : Commande multivariable d'un hélicoptère miniature (Concours CCINP)

Un drone hélicoptère à 2 degrés de liberté (tangage $θ$ et lacet $ψ$ ) est actionné par deux hélices couplées aérodynamiquement.

Établir la matrice de transfert 2x2 $G (p)$ faisant apparaître les termes de couplage croisés.
Concevoir un découpleur dynamique $D (p)$ tel que $G (p) D (p) = diag (g_{11} (p), g_{22} (p))$ .
Synthétiser deux boucles indépendantes de régulation PID sur les axes découplés.

Démonstration

$G (p) = (G_{11} G_{21} G_{12} G_{22})$ .
Découpleur dynamique : $D (p) = (1 - G_{21} / G_{22} - G_{12} / G_{11} 1)$ .
Après découplage, chaque axe est régulé indépendamment par un PID classique avec des marges $M_{φ} \geq 5 0^{\circ}$ .

Problème 6.4 : Régulation de tension d'un microréseau électrique (Concours Banque PT)

Un onduleur de puissance triphasé alimente une charge isolée via un filtre LC.

Établir les équations d'état dans le repère tournant de Park $(d, q)$ .
Éliminer le couplage gyroscopique $ω L$ par compensation d'état.
Assurer une poursuite parfaite de la consigne sinusoïdale de tension à $50 Hz$ par correcteur résonant proportionnel (PR).

Démonstration

$\frac{d i _{d}}{d t} = - \frac{R}{L} i_{d} + ω i_{q} + \frac{1}{L} (v_{d, ond} - v_{d})$ et $\frac{d i _{q}}{d t} = - \frac{R}{L} i_{q} - ω i_{d} + \frac{1}{L} (v_{q, ond} - v_{q})$ .
En injectant $v_{d, ond} = u_{d} - ω L i_{q}$ et $v_{q, ond} = u_{q} + ω L i_{d}$ , les deux axes sont totalement découplés.
Le correcteur résonant $C (p) = K_{p} + \frac{K _{i} p}{p ^{2} + ω _{0}^{2}}$ fournit un gain infini à $ω_{0} = 2 π \times 50$ , éliminant l'erreur statique sans transformée de Park.

Problème 6.5 : Commande prédictive sur horizon glissant MPC (Concours X / ENS)

On étudie la commande prédictive à modèle (Model Predictive Control) d'un système de freinage autonome avec contraintes sur la course du vérin $u_{min} \leq u \leq u_{max}$ et la décélération $y \leq y_{max}$ .

Formuler le problème d'optimisation quadratique sous contraintes sur un horizon de prédiction $N_{p}$ .
Établir la fonction de coût $J = \sum_{k = 1}^{N_{p}} (y_{k + i} - r_{k + i})^{2} + λ Δ u_{k + i - 1}^{2}$ .
Montrer que la commande MPC sans contrainte active se ramène à un gain linéaire stationnaire de retour d'état.

Démonstration

Le modèle d'état prédit la trajectoire future $Y = F X_{k} + H ΔU$ .
La minimisation de $J = \frac{1}{2} ΔU^{T} Q ΔU + c^{T} ΔU$ sous contraintes linéaires $A_{ineq} ΔU \leq b_{ineq}$ est un problème de programmation quadratique (QP).
En l'absence de contrainte saturée, $ΔU^{*} = - Q^{- 1} c = - K_{MPC} X_{k}$ , équivalent à un retour d'état linéaire optimal LQR.

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