Conception Mécanique Avancée et Transmissions de Puissance

Cours complet · sciences industrielles (PT), chapitre 5 · CPGE PT (2e année)

5.1 Architecture des liaisons et guidages en rotation de précision

Dans les systèmes industriels de précision (broches d'usinage, réducteurs aéronautiques, robots articulés), le guidage en rotation doit assurer un positionnement axial et radial rigide, sans jeu parasite et avec un frottement minimal.

Définition 5.1Montages de roulements à contact oblique

Pour supporter des charges combinées (radiales et axiales élevées) :

Montage en O (en opposition directe) : Les centres de poussée divergent vers l'extérieur. Recommandé lorsque l'arbre est tournant ou pour obtenir une grande rigidité face aux moments de flexion.
Montage en X (en opposition indirecte) : Les centres de poussée convergent vers l'intérieur. Recommandé lorsque le logement est tournant ou dans des encombrements axiaux réduits.

◆Théorème 5.2Précharge des roulements de broche

L'annulation du jeu interne et l'augmentation de la rigidité dynamique sont obtenues par précharge axiale $F_{pre}$ , réalisée par :

Cales d'épaisseur rectifiées entre bagues intérieures ou extérieures.
Ressorts hélicoïdaux ou rondelles Belleville (maintien d'un effort constant malgré les dilatations thermiques).
Écrous à encoches de précision avec freinage par vis pointeau.

5.2 Transmission de puissance par trains épicycloïdaux complexes

Un train ordinaire a un rapport de réduction figé par ses nombres de dents. Un train épicycloïdal en a un qui dépend de ce qu'on bloque — et c'est toute sa valeur industrielle. La relation de Willis lie trois vitesses ; imposer l'une d'elles laisse un rapport déterminé entre les deux autres, et changer laquelle on impose change le rapport. C'est ce degré de liberté supplémentaire qui fait de la même denture un réducteur, un différentiel ou une boîte automatique.

Méthode : Conduire un calcul de train épicycloïdal

Identifier les trois éléments : les deux planétaires et le porte-satellites. Les satellites n'apparaissent pas dans la relation de Willis — ils n'y interviennent que par leurs nombres de dents.
Calculer la raison de base $λ$ comme pour un train ordinaire, en observant le train depuis le porte-satellites, et compter les contacts extérieurs pour le signe.
Écrire la condition imposée par le montage : couronne bloquée, planétaire bloqué, ou porte-satellites entraîné.
En déduire le rapport cherché, puis vérifier son signe et son ordre de grandeur : un train épicycloïdal à couronne fixe est toujours réducteur et de même sens.

Définition 5.3Formule de Willis généralisée

Pour un train épicycloïdal plan comportant un planétaire d'entrée 1, un planétaire de sortie 2 et un porte-satellite $P S$ , la raison de base s'écrit :

$R_{(1/2)_{P S}} = \frac{ω _{1/0} - ω _{P S /0}}{ω _{2/0} - ω _{P S /0}} = (- 1)^{k} \prod \frac{Z _{men e ˊ es}}{Z _{menantes}}$

où $k$ est le nombre de contacts extérieurs entre roues dentées.

Proposition 5.4Condition de montage géométrique

Pour monter $n_{s}$ satellites régulièrement répartis, la condition s'écrit : $\frac{Z _{1} + Z _{3}}{n _{s}} \in N$ .

5.3 Étanchéité et lubrification des mécanismes

L'étanchéité n'est pas un accessoire ajouté à la fin : elle conditionne la durée de vie du mécanisme, parce qu'un roulement ne meurt presque jamais de fatigue mais de pollution. Le choix se joue sur un compromis unique — le contact assure l'étanchéité mais frotte, s'échauffe et s'use ; l'absence de contact ne s'use pas mais ne retient que ce que la force centrifuge et la gravité veulent bien lui laisser retenir.

iRemarque

La lubrification suit la même logique de vitesse. À basse et moyenne vitesse, la graisse suffit et présente l'avantage de participer à l'étanchéité en obturant les passages. Au-delà, elle ne dissipe plus assez de chaleur et il faut passer à l'huile, par barbotage puis par circulation forcée — laquelle impose à son tour une étanchéité plus sérieuse, et referme la boucle : le choix du lubrifiant et celui du joint ne se décident pas séparément.

L'étanchéité dynamique protège les organes mécaniques :

Étanchéité avec contact : Joints à lèvres élastomère FKM avec ressort torique.
Étanchéité sans contact : Labyrinthes concentriques pour très hautes vitesses ( $N > 20000 tr / min$ ).

Figure : Transmission par train épicycloïdal et étanchéité dynamique industrielle.

5.4 Exercices d'application corrigés

Exercice : Calcul de rapport de transmission d'un réducteur épicycloïdal type I

Un réducteur à train épicycloïdal planétaire simple possède un planétaire solaire 1 de $Z_{1} = 18$ dents, un satellite 2 et une couronne fixe 3 de $Z_{3} = 72$ dents. L'arbre d'entrée est lié au solaire 1 et l'arbre de sortie au porte-satellite $P S$ .

Déterminer le nombre de dents $Z_{2}$ du satellite pour respecter l'entraxe.
Vérifier si 3 satellites peuvent être montés régulièrement.
Calculer le rapport de réduction global $r = \frac{ω _{P S /0}}{ω _{1/0}}$ .

Démonstration

Condition d'entraxe géométrique : $R_{1} + 2 R_{2} = R_{3} ⟹ Z_{1} + 2 Z_{2} = Z_{3}$ , d'où $Z_{2} = \frac{72 - 18}{2} = 27$ dents.
Condition de montage pour $n_{s} = 3$ satellites : $\frac{Z _{1} + Z _{3}}{n _{s}} = \frac{18 + 72}{3} = \frac{90}{3} = 30 \in N$ . Le montage à $12 0^{\circ}$ est possible.
Par la formule de Willis avec couronne fixe ( $ω_{3/0} = 0$ ) : $\frac{ω _{1/0} - ω _{P S /0}}{0 - ω _{P S /0}} = (- 1)^{1} \frac{Z _{3}}{Z _{1}} = - \frac{72}{18} = - 4 ⟹ \frac{ω _{1/0}}{ω _{P S /0}} - 1 = 4 ⟹ r = \frac{ω _{P S /0}}{ω _{1/0}} = \frac{1}{5} = 0, 20$ .

Exercice : Rendement mécanique d'un réducteur épicycloïdal

On donne le rendement de denture en train bloqué $η_{0} = 0, 97$ . Exprimer et calculer le rendement global $η$ du train précédent en fonction de la raison de base $R_{0} = - 4$ .

Démonstration

La puissance transite principalement par la liaison engrènement. Pour une raison $R_{0} < 0$ , la formule de Wolf donne : $η = \frac{1 - R _{0} η _{0}}{1 - R _{0}} = \frac{1 - ( - 4 \times 0 , 97 )}{1 - ( - 4 )} = \frac{1 + 3 , 88}{5} = \frac{4 , 88}{5} = 0, 976 = 97, 6 %$ .

Exercice : Guidage de broche en O : calcul de l'écartement effectif

Deux roulements à billes à contact oblique de diamètre moyen $d_{m} = 80 mm$ et d'angle de contact $α = 2 5^{\circ}$ sont montés en O avec un entraxe géométrique $L = 150 mm$ . Calculer la distance effective $L_{eff}$ entre les centres de poussée.

Démonstration

Dans un montage en O, les lignes de charge s'écartent de l'axe : $L_{eff} = L + 2 \cdot \frac{d _{m}}{2} tan α = 150 + 80 \times tan (2 5^{\circ}) = 150 + 80 \times 0, 4663 = 150 + 37, 3 = 187, 3 mm$ . Ce montage confère à la broche une rigidité en flexion équivalente à un espacement de $187, 3 mm$ .

Exercice : Dimensionnement d'une clavette parallèle

Un arbre en acier ( $R_{p g} = 80 M Pa$ , $p_{adm} = 100 M Pa$ ) de diamètre $d = 40 mm$ transmet un couple $C = 600 Nm$ . La clavette standard a une largeur $b = 12 mm$ et une hauteur $h = 8 mm$ (encastrement de $t_{1} = 5 mm$ dans l'arbre). Calculer la longueur minimale $L$ de la clavette.

Démonstration

Effort tangentiel sur la clavette : $F_{t} = \frac{C}{d /2} = \frac{600}{0 , 020} = 30000 N$ .
Condition de matage (pression admissible sur la hauteur de contact $h - t_{1} = 8 - 5 = 3 mm$ ) : $p = \frac{F _{t}}{( h - t _{1} ) L} \leq p_{adm} ⟹ L \geq \frac{F _{t}}{( h - t _{1} ) p _{adm}} = \frac{30000}{3 \times 100} = 100 mm$ .
Condition de cisaillement : $τ = \frac{F _{t}}{b L} \leq R_{p g} ⟹ L \geq \frac{30000}{12 \times 80} = 31, 25 mm$ .
La condition la plus dimensionnante est le matage, soit $L \geq 100 mm$ .

Exercice : Transmission par vis à billes préchargée

Une vis à billes de pas $p_{h} = 10 mm$ , de diamètre nominal $d = 32 mm$ et de rendement direct $η = 0, 92$ déplace une table d'usinage supportant un effort axial de coupe $F_{a} = 8000 N$ . Calculer le couple moteur nécessaire sur la vis en régime établi.

Démonstration

Relation d'énergie : $C_{m} ω_{v} η = F_{a} V = F_{a} (\frac{p _{h}}{2 π} ω_{v}) ⟹ C_{m} = \frac{F _{a} p _{h}}{2 π η} = \frac{8000 \times 0 , 010}{2 π \times 0 , 92} = \frac{80}{5 , 78} = 13, 84 Nm$ .

Exercice : Étanchéité par joint torique sous pression

Un joint torique en nitrile NBR 70 Shore A de tore $d_{2} = 3, 53 mm$ est monté dans une gorge de profondeur $h = 2, 80 mm$ . Calculer le taux d'écrasement initial $τ_{ecr}$ .

Démonstration

Le taux d'écrasement vaut : $τ_{ecr} = \frac{d _{2} - h}{d _{2}} = \frac{3 , 53 - 2 , 80}{3 , 53} = \frac{0 , 73}{3 , 53} \approx 20, 7 %$ . Cette valeur est parfaitement conforme à la plage recommandée ( $15 %$ à $25 %$ ) pour assurer une étanchéité statique étanche aux fluides sous pression.

Exercice : Accouplement flexible à lamelles métalliques

Un accouplement à disques flexibles compense un désalignement radial $Δ r = 0, 2 mm$ et angulaire $Δ θ = 0, 5^{\circ}$ . Expliquer comment la flexibilité axiale des lamelles en acier inoxydable absorbe ces défauts sans jeu angulaire en torsion.

Démonstration

Les lamelles minces travaillent en flexion plane hors de leur plan de rigidité, ce qui leur confère une très faible raideur en flexion pour absorber les désalignements sans générer d'efforts radiaux destructeurs sur les roulements, tout en présentant une raideur infinie dans leur plan en traction/compression, garantissant ainsi un jeu angulaire nul en torsion pour les asservissements de précision.

Exercice : Transmission par courroie synchrone crantée

Une courroie crantée HTD 8M de largeur $b = 30 mm$ entraîne un arbre de robot. La poulie motrice a $Z_{1} = 24$ dents et tourne à $N_{1} = 3000 tr / min$ . La poulie réceptrice a $Z_{2} = 72$ dents. Calculer la vitesse de rotation de sortie $N_{2}$ et la vitesse linéaire de la courroie $V$ .

Démonstration

Vitesse de rotation : $N_{2} = N_{1} \frac{Z _{1}}{Z _{2}} = 3000 \times \frac{24}{72} = 1000 tr / min$ .
Vitesse linéaire : le pas vaut $p = 8 mm$ . La distance parcourue par tour de poulie motrice est $Z_{1} p = 24 \times 8 \times 1 0^{- 3} = 0, 192 m / tr$ .
$V = 0, 192 \times \frac{3000}{60} = 0, 192 \times 50 = 9, 6 m / s$ .

Exercice : Frein électromagnétique à manque de courant

Un frein de sécurité applique un couple de freinage $C_{f} = 80 Nm$ au moyen de 6 ressorts hélicoïdaux exerçant une force totale $F_{press}$ . La garniture de friction a un rayon intérieur $r = 60 mm$ , un rayon extérieur $R = 90 mm$ et un coefficient de frottement $μ = 0, 35$ . Calculer l'effort axial total $F_{press}$ sous hypothèse d'usure uniforme.

Démonstration

Sous hypothèse d'usure uniforme, le rayon moyen de friction est $R_{m} = \frac{R + r}{2} = \frac{90 + 60}{2} = 75 mm = 0, 075 m$ . Le couple de frottement pour une surface de contact vaut : $C_{f} = μ F_{press} R_{m} ⟹ F_{press} = \frac{C _{f}}{μ R _{m}} = \frac{80}{0 , 35 \times 0 , 075} = \frac{80}{0 , 02625} \approx 3048 N$ . Chaque ressort doit développer un effort préchargé de $F_{1} = \frac{3048}{6} \approx 508 N$ .

Exercice : Rattrapage de jeu par double pignon à ressort

Dans un réducteur de radar, deux pignons identiques côte à côte engrènent avec la grande roue. Un ressort de torsion interne sollicite les pignons en sens inverse. Démontrer l'annulation du jeu angulaire.

Démonstration

Le ressort impose un décalage angulaire entre les dents des deux demi-pignons, de sorte que le flanc droit de la dent du premier pignon est en appui permanent sur la dent de la roue, tandis que le flanc gauche de la dent du second pignon appuie sur le flanc opposé. Quel que soit le sens d'inversion du couple, il n'y a aucune discontinuité ni jeu au franchissement de zéro.

5.5 Problèmes de concours résolus (Banque PT / Centrale / Arts et Métiers)

Problème : Réducteur cycloïdal ou à arbre excentrique de robotique lourde (Concours Banque PT)

Les réducteurs cycloïdaux (Cyclo drive) offrent des rapports de réduction de $1/30$ à $1/100$ en un seul étage compact sans jeu. Un arbre d'entrée muni d'un excentre d'excentricité $e = 3 mm$ entraîne un disque cycloïdal comportant $Z_{d} = 29$ lobes qui roule à l'intérieur d'une couronne fixe à $Z_{c} = 30$ rouleaux cylindriques.

Démontrer que le disque cycloïdal effectue un mouvement plan sur plan composé.
Exprimer la vitesse de rotation du disque $ω_{d}$ en fonction de la vitesse d'entrée de l'arbre excentrique $ω_{e}$ .
Déterminer le rapport de réduction global $r = \frac{ω _{sortie}}{ω _{entr e ˊ e}}$ .
Analyser l'équilibrage dynamique requis pour annuler le balourd créé par l'excentrique.

Démonstration

Le centre du disque cycloïdal décrit un cercle de rayon $e$ à la vitesse angulaire $ω_{e}$ , tandis que ses lobes engrènent sans glissement avec les rouleaux fixes.
À chaque tour complet de l'excentrique ( $2 π$ ), le disque engrène avec les 30 rouleaux mais n'a que 29 lobes : il recule donc de $30 - 29 = 1$ dent par rapport à la couronne fixe.
Sa vitesse angulaire propre vaut donc : $ω_{d} = - \frac{Z _{c} - Z _{d}}{Z _{d}} ω_{e} = - \frac{30 - 29}{29} ω_{e} = - \frac{1}{29} ω_{e}$ .
Les pions de sortie transmettent uniquement la rotation propre du disque sans l'excentricité, d'où : $r = - \frac{1}{29} \approx - 0, 0345$ .
Le disque décentré de masse $m$ crée une force centrifuge tournante $F_{c f} = m e ω_{e}^{2}$ . Pour l'équilibrer parfaitement, on monte deux disques cycloïdaux identiques déphasés de $18 0^{\circ}$ sur deux excentriques opposés.

Problème : Broche d'usinage à grande vitesse UGV 24000 tr/min (Concours Banque PT)

Une broche UGV de centre d'usinage 5 axes tourne à $N = 24000 tr / min$ avec une puissance de broche $P = 25 kW$ .

Calculer le couple nominal de coupe $C_{n}$ .
Les roulements céramiques hybrides (billes $S i_{3} N_{4}$ ) sont montés en O avec précharge constante par rondelles élastiques. Justifier l'emploi de céramique pour les billes face à l'effet centrifuge.
Évaluer la puissance thermique dissipée par frottement pour un rendement de broche de $96 %$ et dimensionner le débit d'eau glycolée de refroidissement ( $Δ T = 3° C$ , $c = 3800 J / kg / K$ ).

Démonstration

$ω = \frac{24000 \times 2 π}{60} = 800 π \approx 2513, 3 rad / s$ .
$C_{n} = \frac{P}{ω} = \frac{25000}{2513 , 3} \approx 9, 95 Nm$ .
La masse volumique du nitrure de silicium ( $ρ_{c e ˊ ram} \approx 3200 kg / m^{3}$ ) est $60 %$ plus faible que celle de l'acier ( $7800 kg / m^{3}$ ). Cela réduit drastiquement la force centrifuge des billes sur la bague extérieure à $N = 24000 tr / min$ , diminuant l'échauffement et augmentant la durée de vie des roulements.
Puissance thermique à évacuer : $P_{th} = P (1 - η) = 25000 \times 0, 04 = 1000 W = 1 kW$ .
Débit massique : $q_{m} = \frac{P _{th}}{c Δ T} = \frac{1000}{3800 \times 3} = \frac{1000}{11400} \approx 0, 0877 kg / s \approx 5, 26 L / min$ .

Problème : Différentiel Torsen à vis sans fin d'automobile (Concours Banque PT)

Le différentiel Torsen (Torque Sensing) utilise l'irréversibilité partielle de couples de vis sans fin pour répartir dynamiquement le couple entre roue gauche et roue droite.

Expliquer la condition de réversibilité d'un engrenage roue et vis sans fin d'angle d'hélice $β$ et d'angle de frottement $φ$ .
Établir l'expression du rapport de blocage (Torque Bias Ratio) $T B R = \frac{C _{max}}{C _{min}}$ .

Démonstration

La réversibilité exige que l'angle d'hélice de la vis soit supérieur à l'angle de frottement apparent : $β > φ_{app}$ . Pour un Torsen, on choisit $β \approx φ$ pour créer un frottement interne dépendant du couple transmis.
Lorsqu'une roue patine, le frottement interne génère un couple résistant $C_{frot} = f (C_{entr e ˊ e})$ . Le couple transmis à la roue adhérente vaut $C_{max} = C_{min} + 2 C_{frot}$ , ce qui fixe le ratio $T B R = \frac{1 + μ _{int}}{1 - μ _{int}}$ , typiquement entre $3 : 1$ et $5 : 1$ .

Problème : Joint homocinétique de transmission automobile Rzeppa (Concours Banque PT)

Un arbre de transmission de roue directrice utilise un joint à 6 billes de type Rzeppa.

Démontrer la condition d'homocinétisme géométrique : les billes doivent être maintenues dans le plan bissecteur des deux arbres sécants d'angle de brisure $α$ .
Analyser comment la cage à gorges décalées maintient ce plan bissecteur quelle que soit la variation d'angle $α \in [0^{\circ}, 4 5^{\circ}]$ .

Démonstration

Pour tout point $M$ de contact entre arbre 1 et arbre 2, la vitesse tangentielle est identique. Si $M$ est dans le plan bissecteur, les rayons de rotation $r_{1} = R cos (α /2)$ et $r_{2} = R cos (α /2)$ sont rigoureusement égaux, garantissant $ω_{1} = ω_{2}$ instantanément à tout instant $θ$ .
Les centres de courbure des chemins de billes de la bague intérieure et extérieure sont décalés symétriquement de part et d'autre du centre d'articulation. Cette géométrie en entonnoir force la cage et les 6 billes à se placer rigoureusement à l'angle bissecteur $α /2$ .

Problème : Vérin électromécanique à rouleaux satellites inversés pour commande de vol d'avion (Concours Mines-Ponts / PT)

Pour remplacer les actionneurs hydrauliques, un vérin EMA de commande de vol utilise une vis à rouleaux satellites inversés de pas $p_{h} = 5 mm$ et un moteur synchrone à aimants permanents délivrant un couple maximal $C_{m} = 40 Nm$ avec un rendement direct $η = 0, 88$ .

Calculer l'effort axial maximal disponible $F_{pouss e ˊ e}$ pour manœuvrer la gouverne.
Comparer la capacité de charge statique et la durée de vie d'une vis à rouleaux satellites face à une vis à billes de même encombrement.

Démonstration

$F_{pouss e ˊ e} = \frac{2 π η C _{m}}{p _{h}} = \frac{2 π \times 0 , 88 \times 40}{0 , 005} = \frac{221 , 17}{0 , 005} \approx 44234 N \approx 44, 2 kN$ .
Une vis à rouleaux satellites présente des lignes de contact entre rouleaux et vis (contact linéique) au lieu de points de contact (contact ponctuel hertzien) pour les vis à billes. La surface portante est multipliée par 3 à 5, ce qui confère à encombrement égal une capacité de charge dynamique jusqu'à 3 fois supérieure et une durée de vie multipliée par 10 à 15 sous chocs sévères.

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