Appartenance à $L^p$ selon l'exposant

• $f$ est continue et positive sur $]0,+\infty [$, donc mesurable. Elle n'est pas bornée au voisinage de $0$, et aucun intervalle $]0,\epsilon [$ n'est négligeable : $f\notin L^{\infty }$. Soit $p\in [1,+\infty [$. Sur $]0,1]$, $1\le 1+x\le 2$, donc $2^{-p}{x}^{-p/3}\le f(x{)}^p\le x^{-p/3}$ : $f^p$ est intégrable sur $]0,1]$ si et seulement si $\frac{p}{3}<1$ (exemple 1.16). Sur $[1,+\infty [$, $0\le f(x{)}^p\le x^{-4p/3}$ avec $\frac{4p}{3}\ge \frac{4}{3}>1$ : $f^p$ y est toujours intégrable. Conclusion : $f\in L^p(]0,+\infty [)$ si et seulement si $1\le p<3$.
• Le changement de variable $x={\mathrm{e}}^{-u}$, $u\in ]0,+\infty [$ ($\mathrm{d}x={\mathrm{e}}^{-u}\mathrm{d}u$, théorème 1.38), donne, pour tout $p\ge 1$,

$${\int }_0^1{\left|\ln x\right|}^p\mathrm{d}x={\int }_0^{+\infty }{u}^p{\mathrm{e}}^{-u}\mathrm{d}u=\Gamma (p+1)<+\infty$$

(exemple 1.29). Donc $g\in L^p(]0,1[)$ et, pour $p$ entier, ${\Vert g\Vert }_p=(p!{)}^{1/p}$ : ${\Vert g\Vert }_1=1$, ${\Vert g\Vert }_2=\sqrt{2}$, ${\Vert g\Vert }_3=6^{1/3}\approx 1,817$. En revanche, pour tout $M>0$, $\left|\ln x\right|>M$ sur $]0,{\mathrm{e}}^{-M}[$, de mesure ${\mathrm{e}}^{-M}>0$ : $g$ n'est pas essentiellement bornée.

• Pour $\alpha \le 0$, ${\left|x^{-\alpha }\right|}^p\ge 1$ sur $[1,+\infty [$, qui est de mesure infinie : la fonction n'est pas dans $L^p$. Pour $\alpha >0$, il faudrait $\alpha p<1$ pour l'intégrabilité sur $]0,1[$ et $\alpha p>1$ pour l'intégrabilité sur $]1,+\infty [$ (exemple 2.1) : c'est impossible. Pour appartenir à $L^p(]0,+\infty [)$, une fonction doit concilier les deux exigences, comme le fait $f$ à la question 1 en changeant de comportement autour de $x=1$.