Cas d'égalité dans l'inégalité de Hölder

• Le logarithme est strictement concave sur $]0,+\infty [$ : pour $s,t>0$, $\ln (\frac{s}{p}+\frac{t}{q})\ge \frac{1}{p}\ln s+\frac{1}{q}\ln t$, avec égalité si et seulement si $s=t$ (car $\frac{1}{p}\in ]0,1[$). Avec $s=a^p$ et $t=b^q$, on obtient l'inégalité de Young, et l'égalité équivaut à $a^p=b^q$.
• Reprenons la preuve du théorème 2.3 : $F=\left|f\right|/{\Vert f\Vert }_p$, $G=\left|g\right|/{\Vert g\Vert }_q$ et $h=\frac{F^p}{p}+\frac{G^q}{q}-FG$, positive par l'inégalité de Young (qui reste vraie si $F$ ou $G$ s'annule). Comme $\int (\frac{F^p}{p}+\frac{G^q}{q})=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$, l'égalité $\int \left|fg\right|={\Vert f\Vert }_p{\Vert g\Vert }_q$ équivaut à $\int FG=1$, donc à $\int h=0$, c'est-à-dire à $h=0$ p.p. (proposition 1.19). Là où $F$ et $G$ sont $>0$, $h=0$ équivaut à $F^p=G^q$ (question 1) ; là où l'un des deux est nul, $h=0$ impose que l'autre le soit aussi. L'égalité a donc lieu si et seulement si $F^p=G^q$ p.p., soit ${\left|f\right|}^p=c{\left|g\right|}^q$ p.p. avec $c={\Vert f\Vert }_p^p/{\Vert g\Vert }_q^q>0$. Réciproquement, si ${\left|f\right|}^p=c{\left|g\right|}^q$ p.p., en intégrant, $c={\Vert f\Vert }_p^p/{\Vert g\Vert }_q^q$ ; donc $F^p=G^q$ p.p., $h=0$ p.p. et l'égalité a lieu.
• Avec $p=3$, $q=\frac{3}{2}$ et $g(x)=x$ :

$${\int }_0^{1}xf(x)\mathrm{d}x\le {\int }_0^1\left|xf(x)\right|\mathrm{d}x\le {\Vert f\Vert }_3{\Vert g\Vert }_{3/2}\le ({\int }_0^1{x}^{3/2}\mathrm{d}x{)}^{2/3}=(\frac{2}{5}{)}^{2/3}\approx 0,543.$$

L'égalité exige ${\Vert f\Vert }_3=1$, $f\ge 0$ p.p. et (question 2) $f^3=c{x}^{3/2}$, soit $f=\gamma \sqrt{x}$ avec $\gamma >0$. La condition ${\Vert f\Vert }_3=1$ s'écrit ${\gamma }^3{\int }_0^1{x}^{3/2}\mathrm{d}x=1$, soit $\gamma =(\frac{5}{2}{)}^{1/3}$, et l'on vérifie que ${\int }_0^{1}x\cdot \gamma \sqrt{x}\mathrm{d}x=\frac{2}{5}\gamma =(\frac{2}{5}{)}^{2/3}$. Le maximum vaut $(\frac{2}{5}{)}^{2/3}$ ; il est atteint par $f(x)=(\frac{5}{2}{)}^{1/3}\sqrt{x}$ et par elle seule.