Continuité des translations dans $L^p$

• ${\tau }_{h}f$ est mesurable (composée de $f$ et d'une translation) et, par le changement de variable $y=x-h$ (la mesure de Lebesgue est invariante par translation, théorème 1.38), ${\int }_{\mathbb{R}}{\left|f(x-h)\right|}^p\mathrm{d}x={\int }_{\mathbb{R}}{\left|f(y)\right|}^p\mathrm{d}y$.
• Pour $\left|h\right|\le 1$, ${\tau }_h\phi -\phi$ est nulle hors de $[a-1,b+1]$. La fonction $\phi$, continue sur le segment $[a-1,b+1]$ et nulle en dehors, est uniformément continue sur $\mathbb{R}$ (théorème de Heine) : $\eta (h)={\sup }_{x\in \mathbb{R}}\left|\phi (x-h)-\phi (x)\right|\to 0$ quand $h\to 0$. Alors

$${\Vert {\tau }_h\phi -\phi \Vert }_p\le \eta (h)(b-a+2{)}^{1/p}\underset{h\to 0}{\to }0.$$

• Soit $\epsilon >0$. Par le théorème 2.9, il existe $\phi$ continue à support compact telle que ${\Vert f-\phi \Vert }_p\le \epsilon$. Par Minkowski et la question 1,

$${\Vert {\tau }_{h}f-f\Vert }_p\le {\Vert {\tau }_h(f-\phi )\Vert }_p+{\Vert {\tau }_h\phi -\phi \Vert }_p+{\Vert \phi -f\Vert }_p\le 2\epsilon +{\Vert {\tau }_h\phi -\phi \Vert }_p,$$

et le dernier terme est $\le \epsilon$ pour $\left|h\right|$ assez petit (question 2) : ${\Vert {\tau }_{h}f-f\Vert }_p\le 3\epsilon$.

• Pour $h>0$, ${\tau }_{h}H-H=1_{[h,+\infty [}-1_{[0,+\infty [}=-1_{[0,h[}$, qui vaut $-1$ sur un ensemble de mesure $h>0$ : ${\Vert {\tau }_{h}H-H\Vert }_{\infty }=1$ pour tout $h>0$ (et de même pour $h<0$). La preuve échoue à la question 3 parce que les fonctions continues ne sont pas denses dans $L^{\infty }$ (fin de la section 2.3).