Convergence pour différentes normes

• ${\phi }_n$ est une « dent » de hauteur $\sqrt{n}$ et de base $\frac{1}{n^2}$ : ${\Vert {\phi }_n\Vert }_{\infty }=\sqrt{n}\to +\infty$. Avec le changement de variable $u=n^{2}x$,

$${\Vert {\phi }_n\Vert }_2^2={\int }_0^{1/n^2}n(1-n^{2}x{)}^2\mathrm{d}x=\frac{n}{n^2}{\int }_0^1(1-u{)}^2\mathrm{d}u=\frac{1}{3n},$$

$${\Vert {\phi }_n\Vert }_1=\frac{\sqrt{n}}{n^2}{\int }_0^1(1-u)\mathrm{d}u=\frac{1}{2n^{3/2}}.$$

Ainsi ${\phi }_n\to 0$ dans $L^2$ et dans $L^1$, mais pas uniformément (la norme infinie tend même vers $+\infty$).

• De même avec $u=nx$ : ${\Vert {\psi }_n\Vert }_2^2=\frac{n}{n}{\int }_0^1(1-u{)}^2\mathrm{d}u=\frac{1}{3}$ et ${\Vert {\psi }_n\Vert }_1=\frac{\sqrt{n}}{n}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2\sqrt{n}}$. Donc ${\psi }_n\to 0$ dans $L^1$, mais pas dans $L^2$ : si ${\psi }_n$ convergeait dans $L^2$ vers une limite $g$, elle convergerait aussi vers $g$ dans $L^1$ (question 3 appliquée aux normes, ou proposition 2.7), donc $g=0$, ce qui contredit ${\Vert {\psi }_n\Vert }_2=\frac{1}{\sqrt{3}}$.
• Par la proposition 2.7 sur $[0,1]$ (mesure $1$) : ${\Vert f_n-f\Vert }_1\le {\Vert f_n-f\Vert }_2\le {\Vert f_n-f\Vert }_{\infty }\to 0$.