Hölder généralisé

• Si $r=p$ (donc $q=+\infty$) ou $r=q$, c'est immédiat : ${\left|fg\right|}^r\le {\Vert g\Vert }_{\infty }^r{\left|f\right|}^r$. Sinon, posons $P=\frac{p}{r}$ et $Q=\frac{q}{r}$ : ce sont deux réels $>1$ conjugués, car $\frac{1}{P}+\frac{1}{Q}=r(\frac{1}{p}+\frac{1}{q})=1$. Or ${\left|f\right|}^r\in L^P$ puisque $({\left|f\right|}^r{)}^P={\left|f\right|}^p$ est intégrable, et de même ${\left|g\right|}^r\in L^Q$. Par Hölder,

$$\int {\left|fg\right|}^r\le (\int {\left|f\right|}^p{)}^{r/p}(\int {\left|g\right|}^q{)}^{r/q}={\Vert f\Vert }_p^r{\Vert g\Vert }_q^r,$$

donc $fg\in L^r$, et l'on obtient l'inégalité en élevant à la puissance $\frac{1}{r}$.

• Définissons $s$ par $\frac{1}{s}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1-\frac{1}{r}\le 1$, donc $s\ge 1$. Par la question 1, $fg\in L^s$ avec ${\Vert fg\Vert }_s\le {\Vert f\Vert }_p{\Vert g\Vert }_q$. Comme $\frac{1}{s}+\frac{1}{r}=1$, Hölder appliqué à $fg$ et $h$ donne ${\Vert fgh\Vert }_1\le {\Vert fg\Vert }_s{\Vert h\Vert }_r\le {\Vert f\Vert }_p{\Vert g\Vert }_q{\Vert h\Vert }_r$.