Inclusions entre espaces Lᵖ — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 2)

Inclusions entre espaces

L^{p}

Espaces Lᵖ · niveau 2

Énoncé

Donner une fonction de $L^{2} (] 1, + \infty [)$ qui n'est pas dans $L^{1} (] 1, + \infty [)$ , et une fonction de $L^{1} (] 0, 1 [)$ qui n'est pas dans $L^{2} (] 0, 1 [)$ .
Montrer que $L^{2} ([a, b]) \subset L^{1} ([a, b])$ , avec $∥ f ∥_{1} \leq b - a ∥ f ∥_{2}$ . Pour quelles fonctions a-t-on égalité ?
Pour quels réels $α$ la fonction $x \mapsto x^{- α} e^{- x}$ appartient-elle à $L^{2} (] 0, + \infty [)$ ?

$\frac{1}{x} \in L^{2} (] 1, + \infty [)$ car $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{2}} = 1$ , mais $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x} = + \infty$ . $\frac{1}{x} \in L^{1} (] 0, 1 [)$ ( $\int_{0}^{1} x^{- 1/2} = 2$ ), mais $\int_{0}^{1} \frac{d x}{x} = + \infty$ .
C'est la proposition 2.7 avec $p = 1$ , $q = 2$ , ou directement Cauchy--Schwarz avec $g = 1$ : $\int_{a}^{b} ∣ f ∣ \cdot 1 \leq (\int ∣ f ∣^{2})^{1/2} (\int 1)^{1/2}$ . Il y a égalité dans Cauchy--Schwarz si et seulement si $∣ f ∣$ et $1$ sont proportionnelles, c'est-à-dire $∣ f ∣$ constante p.p.
$∣ x^{- α} e^{- x} ∣^{2} = x^{- 2 α} e^{- 2 x}$ . En $+ \infty$ , la décroissance exponentielle assure l'intégrabilité pour tout $α$ . Près de $0$ , $x^{- 2 α} e^{- 2 x} \sim x^{- 2 α}$ , intégrable si et seulement si $2 α < 1$ . Réponse : $α < \frac{1}{2}$ .