Interpolation entre deux espaces $L^p$

• Posons $P=\frac{p}{\theta r}$ et $Q=\frac{q}{(1-\theta )r}$. Ce sont des réels positifs et $\frac{1}{P}+\frac{1}{Q}=r(\frac{\theta }{p}+\frac{1-\theta }{q})=1$ : ils sont conjugués (donc tous deux $>1$). La fonction ${\left|f\right|}^{\theta r}$ appartient à $L^P$, car $({\left|f\right|}^{\theta r}{)}^P={\left|f\right|}^p$ est intégrable, et de même ${\left|f\right|}^{(1-\theta )r}\in L^Q$. Par Hölder,

$$\int {\left|f\right|}^r\le (\int {\left|f\right|}^p{)}^{\theta r/p}(\int {\left|f\right|}^q{)}^{(1-\theta )r/q}={\Vert f\Vert }_p^{\theta r}{\Vert f\Vert }_q^{(1-\theta )r},$$

donc $f\in L^r$, et l'on obtient l'inégalité en élevant à la puissance $\frac{1}{r}$.

• Si $q=+\infty$, $\theta =\frac{p}{r}$ et ${\left|f\right|}^r={\left|f\right|}^p{\left|f\right|}^{r-p}\le {\Vert f\Vert }_{\infty }^{r-p}{\left|f\right|}^p$ p.p. ; en intégrant, ${\Vert f\Vert }_r^r\le {\Vert f\Vert }_{\infty }^{r-p}{\Vert f\Vert }_p^p$, soit ${\Vert f\Vert }_r\le {\Vert f\Vert }_p^{p/r}{\Vert f\Vert }_{\infty }^{1-p/r}$. Avec $p=1$ et $r=2$ : ${\Vert f\Vert }_2^2\le {\Vert f\Vert }_1{\Vert f\Vert }_{\infty }$. Sur $\mathbb{R}$, de mesure infinie, aucune inclusion n'a lieu entre $L^1$, $L^2$ et $L^{\infty }$ ; mais l'intersection $L^1\cap L^{\infty }$ est contenue dans tous les $L^r$, $1\le r\le +\infty$.
• $\frac{1}{2}=\theta +\frac{1-\theta }{3}$ donne $\theta =\frac{1}{4}$. On a ${\Vert f\Vert }_1=1$, ${\Vert f\Vert }_2=({\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-2x}\mathrm{d}x{)}^{1/2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,707$ et ${\Vert f\Vert }_3=({\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-3x}\mathrm{d}x{)}^{1/3}=3^{-1/3}$, d'où le majorant ${\Vert f\Vert }_1^{1/4}{\Vert f\Vert }_3^{3/4}=3^{-1/4}\approx 0,760$ : on a bien $0,707\le 0,760$.