La bosse glissante — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 2)

La bosse glissante

Espaces Lᵖ · niveau 2

Énoncé

Tout entier $n \geq 1$ s'écrit de façon unique $n = 2^{k} + j$ avec $k \geq 0$ et $0 \leq j < 2^{k}$ . On pose $f_{n} = 1_{[j 2^{- k}, (j + 1) 2^{- k}]}$ sur $[0, 1]$ .

Représenter $f_{1}, \dots, f_{7}$ et calculer $∥ f_{n} ∥_{p}$ pour $1 \leq p < + \infty$ . En déduire que $f_{n} \to 0$ dans $L^{p} ([0, 1])$ .
Montrer que, pour tout $x \in [0, 1]$ , la suite $(f_{n} (x))$ prend une infinité de fois la valeur $1$ et une infinité de fois la valeur $0$ : elle ne converge en aucun point.
Exhiber une sous-suite qui converge vers $0$ presque partout, comme l'annonce le théorème de Riesz--Fischer.

Corrigé

$f_{1} = 1_{[0, 1]}$ , $f_{2} = 1_{[0, 1/2]}$ , $f_{3} = 1_{[1/2, 1]}$ , puis $f_{4}, \dots, f_{7}$ parcourent les quatre quarts de $[0, 1]$ : à chaque « génération » $k$ , la bosse balaie l'intervalle de gauche à droite avec une largeur $2^{- k}$ . Pour $n = 2^{k} + j$ , $∥ f_{n} ∥_{p} = (2^{- k})^{1/ p}$ . Comme $k \to + \infty$ quand $n \to + \infty$ ( $2^{k} \leq n < 2^{k + 1}$ ), $∥ f_{n} ∥_{p} \to 0$ .
Pour chaque $k$ , les intervalles $[j 2^{- k}, (j + 1) 2^{- k}]$ , $0 \leq j < 2^{k}$ , recouvrent $[0, 1]$ : il existe au moins un $j$ tel que $f_{2^{k} + j} (x) = 1$ . Il existe aussi un indice de la même génération où $f_{2^{k} + j} (x) = 0$ dès que $k \geq 2$ (les intervalles qui ne contiennent pas $x$ ). La suite prend donc une infinité de fois chacune des valeurs $0$ et $1$ : elle diverge en tout point.
La sous-suite $f_{2^{k}} = 1_{[0, 2^{- k}]}$ converge vers $0$ en tout $x > 0$ , donc presque partout.