Les espaces de suites ${\ell }^p$

On munit ${\mathbb{N}}^{\ast }$ de la mesure de comptage (exemple 1.5). Une fonction sur ${\mathbb{N}}^{\ast }$ est une suite $u=(u_n{)}_{n\ge 1}$, son intégrale est la somme ${\sum }_n{u}_n$, et $L^p({\mathbb{N}}^{\ast })$ est l'espace ${\ell }^p$ des suites telles que ${\sum }_n{\left|u_n\right|}^p<+\infty$, normé par ${\Vert u\Vert }_p=({\sum }_n{\left|u_n\right|}^p{)}^{1/p}$ ; ${\ell }^{\infty }$ est l'espace des suites bornées, normé par ${\Vert u\Vert }_{\infty }={\sup }_n\left|u_n\right|$.

• Montrer que ${\Vert u\Vert }_{\infty }\le {\Vert u\Vert }_p$ pour $u\in {\ell }^p$, puis que, si $1\le p<q<+\infty$, ${\ell }^p\subset {\ell }^q$ avec ${\Vert u\Vert }_q\le {\Vert u\Vert }_p$.
• Montrer que la suite $u_n=\frac{1}{n}$ appartient à ${\ell }^2$ mais pas à ${\ell }^1$, et calculer ${\Vert u\Vert }_2$.
• Comparer avec la proposition 2.7. Quelle propriété de la mesure de comptage explique que l'inclusion soit renversée ?