Norme Lᵖ quand p tend vers l'infini — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 2)

Norme

L^{p}

quand

p

tend vers l'infini

Espaces Lᵖ · niveau 2

Énoncé

Soient $(Ω, A, μ)$ un espace mesuré tel que $0 < μ (Ω) < + \infty$ , et $f \in L^{\infty} (Ω)$ .

Montrer que $f \in L^{p} (Ω)$ pour tout $p \in [1, + \infty [$ et que $lim sup_{p \to + \infty} ∥ f ∥_{p} \leq ∥ f ∥_{\infty}$ .
Soit $M$ un réel tel que $0 < M < ∥ f ∥_{\infty}$ . Montrer que l'ensemble $A_{M} = {∣ f ∣ > M}$ est de mesure strictement positive, puis que $∥ f ∥_{p} \geq M μ (A_{M})^{1/ p}$ . En déduire que $p \to + \infty lim ∥ f ∥_{p} = ∥ f ∥_{\infty}$ .
Calculer $∥ f ∥_{p}$ pour $f (x) = x$ sur $[0, 1]$ et vérifier le résultat. Que se passe-t-il pour la fonction $g = ln$ de l'exercice 2.1 ?

Corrigé

C'est la proposition 2.7 avec $q = + \infty$ : $∥ f ∥_{p} \leq μ (Ω)^{1/ p} ∥ f ∥_{\infty}$ . Comme $μ (Ω)^{1/ p} = e^{l n μ (Ω) / p} \to 1$ quand $p \to + \infty$ , on obtient $lim sup_{p \to + \infty} ∥ f ∥_{p} \leq ∥ f ∥_{\infty}$ .
Si $μ (A_{M})$ était nulle, on aurait $∣ f ∣ \leq M$ p.p., donc $∥ f ∥_{\infty} \leq M$ par définition de la borne supérieure essentielle : c'est exclu. Ensuite $∣ f ∣^{p} \geq M^{p} 1_{A_{M}}$ , d'où $\int ∣ f ∣^{p} \geq M^{p} μ (A_{M})$ et $∥ f ∥_{p} \geq M μ (A_{M})^{1/ p}$ . Comme $0 < μ (A_{M}) \leq μ (Ω) < + \infty$ , $μ (A_{M})^{1/ p} \to 1$ , donc $lim inf_{p \to + \infty} ∥ f ∥_{p} \geq M$ . Ceci vaut pour tout $M < ∥ f ∥_{\infty}$ : $lim inf ∥ f ∥_{p} \geq ∥ f ∥_{\infty}$ , et avec la question 1, $∥ f ∥_{p} \to ∥ f ∥_{\infty}$ . (Si $∥ f ∥_{\infty} = 0$ , alors $f = 0$ p.p. et toutes les normes sont nulles.)
$∥ f ∥_{p} = (\int_{0}^{1} x^{p} d x)^{1/ p} = (p + 1)^{- 1/ p} = e^{- l n (p + 1) / p} \to 1 = ∥ f ∥_{\infty}$ ; numériquement, $∥ f ∥_{1} = 0, 5$ , $∥ f ∥_{10} \approx 0, 787$ et $∥ f ∥_{100} \approx 0, 955$ : la convergence est lente. La fonction $g = ln$ sur $] 0, 1 [$ n'est pas essentiellement bornée et $∥ g ∥_{p} = (p!)^{1/ p}$ pour $p$ entier. Parmi les facteurs $1, \dots, p$ de $p!$ , au moins $\frac{p}{2}$ sont $\geq \frac{p}{2}$ , donc $p! \geq (\frac{p}{2})^{p /2}$ et $∥ g ∥_{p} \geq p /2 \to + \infty$ : $∥ g ∥_{p}$ tend vers $∥ g ∥_{\infty} = + \infty$ .

Norme Lp quand p tend vers l'infini

Énoncé

Corrigé

Norme $L^{p}$ quand $p$ tend vers l'infini