Un espace qui n'est pas complet — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 2)

Un espace qui n'est pas complet

Espaces Lᵖ · niveau 2

Énoncé

Sur $E = C ([0, 1])$ , on considère la norme $N_{1} (f) = \int_{0}^{1} ∣ f ∣$ . Pour $n \geq 2$ , soit $f_{n}$ la fonction continue, nulle sur $[0, \frac{1}{2}]$ , égale à $1$ sur $[\frac{1}{2} + \frac{1}{n}, 1]$ et affine entre les deux.

Montrer que $(f_{n})$ est de Cauchy pour $N_{1}$ .
Montrer que $(f_{n})$ converge dans $L^{1} ([0, 1])$ vers $1_{] 1/2, 1]}$ , et en déduire qu'elle n'a pas de limite dans $(E, N_{1})$ .

Corrigé

Pour $m \geq n$ , $f_{n}$ et $f_{m}$ coïncident hors de $[\frac{1}{2}, \frac{1}{2} + \frac{1}{n}]$ et sont comprises entre $0$ et $1$ : donc $N_{1} (f_{n} - f_{m}) \leq \frac{1}{n} \to 0$ .
$f_{n} - 1_{] 1/2, 1]}$ est nulle hors de $] \frac{1}{2}, \frac{1}{2} + \frac{1}{n} [$ et majorée par $1$ : son intégrale est au plus $\frac{1}{n}$ . Si $(f_{n})$ convergeait dans $(E, N_{1})$ vers une fonction continue $g$ , elle convergerait vers $g$ dans $L^{1}$ , et par unicité de la limite, $g = 1_{] 1/2, 1]}$ p.p. Or une fonction continue égale p.p. à $0$ sur $[0, \frac{1}{2} [$ et à $1$ sur $] \frac{1}{2}, 1]$ est nulle sur $[0, \frac{1}{2} [$ et égale à $1$ sur $] \frac{1}{2}, 1]$ (deux fonctions continues égales p.p. sur un intervalle ouvert sont égales), ce qui est incompatible avec la continuité en $\frac{1}{2}$ . Donc $(E, N_{1})$ n'est pas complet : c'est pour cela qu'on travaille dans $L^{1}$ .