Une forme linéaire continue sur Lᵖ — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 2)

Une forme linéaire continue sur

L^{p}

Espaces Lᵖ · niveau 2

Énoncé

Soient $1 < p < + \infty$ , $q$ l'exposant conjugué et $g \in L^{q} (Ω)$ réelle. On pose, pour $f \in L^{p} (Ω)$ réelle, $Λ (f) = \int_{Ω} f g d μ$ .

Montrer que $Λ$ est une forme linéaire sur $L^{p} (Ω)$ et que $∣ Λ (f) ∣ \leq ∥ g ∥_{q} ∥ f ∥_{p}$ .
On suppose $g \neq = 0$ et l'on pose $f_{0} = ∣ g ∣^{q - 1} sgn (g)$ . Montrer que $f_{0} \in L^{p}$ et que $Λ (f_{0}) = ∥ g ∥_{q} ∥ f_{0} ∥_{p}$ . Que vaut la norme de $Λ$ ?

Par Hölder, $f g \in L^{1}$ , donc $Λ (f)$ est défini, et $∣ Λ (f) ∣ \leq \int ∣ f g ∣ \leq ∥ f ∥_{p} ∥ g ∥_{q}$ . La linéarité vient de celle de l'intégrale.
$∣ f_{0} ∣^{p} = ∣ g ∣^{(q - 1) p} = ∣ g ∣^{q}$ car $(q - 1) p = q$ : donc $f_{0} \in L^{p}$ et $∥ f_{0} ∥_{p} = ∥ g ∥_{q}^{q / p}$ . De plus $f_{0} g = ∣ g ∣^{q}$ , d'où $Λ (f_{0}) = ∥ g ∥_{q}^{q} = ∥ g ∥_{q} \cdot ∥ g ∥_{q}^{q - 1} = ∥ g ∥_{q} ∥ f_{0} ∥_{p}$ , puisque $q - 1 = \frac{q}{p}$ . Ainsi $sup_{f \neq = 0} \frac{∣ Λ ( f ) ∣}{∥ f ∥ _{p}}$ est atteint en $f_{0}$ : la norme de $Λ$ vaut exactement $∥ g ∥_{q}$ . (On montre que toute forme linéaire continue sur $L^{p}$ est de ce type : le dual de $L^{p}$ s'identifie à $L^{q}$ .)