Caractériser une base hilbertienne

Soit $S_{N} = \sum_{n \leq N} c_{n} e_{n}$ . Pour $M > N$ , par Pythagore, $∥ S_{M} - S_{N} ∥_{2}^{2} = \sum_{n = N + 1}^{M} ∣ c_{n} ∣^{2} \leq \sum_{n > N} ∣ c_{n} ∣^{2}$ , reste d'une série convergente, qui tend vers $0$ quand $N \to + \infty$ : $(S_{N})$ est de Cauchy dans $L^{2} (Ω)$ , qui est complet (théorème 2.6) ; elle converge vers une limite $g$ . Pour $N \geq n$ , $⟨ S_{N}, e_{n} ⟩ = c_{n}$ , et le produit scalaire est continu (Cauchy--Schwarz) : $⟨ g, e_{n} ⟩ = c_{n}$ .
Si $(e_{n})$ est une base hilbertienne et si $⟨ f, e_{n} ⟩ = 0$ pour tout $n$ , l'égalité de Parseval (théorème 3.4) donne $∥ f ∥_{2}^{2} = \sum_{n} ∣ ⟨ f, e_{n} ⟩ ∣^{2} = 0$ , donc $f = 0$ . Réciproquement, supposons que $0$ soit le seul élément orthogonal à tous les $e_{n}$ , et soit $f \in L^{2} (Ω)$ . Par l'inégalité de Bessel (corollaire 3.3), $\sum_{n} ∣ ⟨ f, e_{n} ⟩ ∣^{2} < + \infty$ ; par la question 1, la série $\sum_{n} ⟨ f, e_{n} ⟩ e_{n}$ converge vers un élément $g$ tel que $⟨ g, e_{n} ⟩ = ⟨ f, e_{n} ⟩$ pour tout $n$ . Alors $f - g$ est orthogonal à tous les $e_{n}$ , donc $f = g = \sum_{n} ⟨ f, e_{n} ⟩ e_{n}$ : c'est le point 2 du théorème 3.4, et $(e_{n})$ est une base hilbertienne.
Pour $n, m \geq 1$ , $\frac{1}{π} \int_{- π}^{π} sin (n t) sin (m t) d t = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} (cos ((n - m) t) - cos ((n + m) t)) d t = δ_{nm}$ , car $n + m \neq = 0$ . Mais la fonction constante $1$ , non nulle, est orthogonale à tous les $sin (n t)$ , qui sont impairs : par la question 2, la famille n'est pas une base hilbertienne de $L^{2} (- π, π)$ (il lui manque la constante et les cosinus). Il n'y a pas de contradiction : le théorème 3.14 porte sur $L^{2} (0, π)$ , où la famille $(2/ π sin (n t))_{n \geq 1}$ est bien une base hilbertienne ; sur $] 0, π [$ , la constante $1$ n'est plus orthogonale aux sinus, puisque $\int_{0}^{π} sin (n t) d t = \frac{1 - ( - 1 ) ^{n}}{n}$ . Une famille peut être une base hilbertienne d'un espace sans l'être d'un espace plus grand.

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