Inégalité de Wirtinger sur un segment

• $f^{\prime }$ est continue sur $[0,L]$, donc dans $L^2(0,L)$. D'abord $a_0=\frac{1}{L}{\int }_0^L{f}^{\prime }=\frac{f(L)-f(0)}{L}=0$. Pour $n\ge 1$, une intégration par parties donne

$$a_n=\frac{2}{L}{\int }_0^L{f}^{\prime }(x)\cos \left(\frac{n\pi x}{L}\right)\mathrm{d}x=\frac{2}{L}[f(x)\cos (\frac{n\pi x}{L}){]}_0^L+\frac{n\pi }{L}\cdot \frac{2}{L}{\int }_0^{L}f(x)\sin (\frac{n\pi x}{L})\mathrm{d}x=\frac{n\pi }{L}{b}_n,$$

le crochet étant nul car $f(0)=f(L)=0$.

• Dans la base hilbertienne $(\sqrt{2/L}\sin \frac{n\pi x}{L}{)}_{n\ge 1}$, les coordonnées de $f$ sont les $\sqrt{L/2}{b}_n$ ; dans la base $(\frac{1}{\sqrt{L}},\sqrt{2/L}\cos \frac{n\pi x}{L})$, celles de $f^{\prime }$ sont $\sqrt{L}{a}_0$ et les $\sqrt{L/2}{a}_n$. L'égalité de Parseval (théorème 3.4) donne

$${\int }_0^L{f}^2=\frac{L}{2}\sum _{n\ge 1}{b}_n^2,{\int }_0^L(f^{\prime }{)}^2=L{a}_0^2+\frac{L}{2}\sum _{n\ge 1}{a}_n^2=\frac{L}{2}\sum _{n\ge 1}\frac{n^2{\pi }^2}{L^2}{b}_n^2.$$

Comme $n^2\ge 1$, ${\int }_0^L(f^{\prime }{)}^2\ge \frac{{\pi }^2}{L^2}{\int }_0^L{f}^2$, d'où l'inégalité. Il y a égalité si et seulement si $(n^2-1)b_n^2=0$ pour tout $n$, c'est-à-dire $b_n=0$ pour $n\ge 2$ : $f=b_1\sin \frac{\pi x}{L}$ dans $L^2(0,L)$, donc partout, les deux membres étant continus.

• ${\int }_0^L{x}^2(L-x{)}^2\mathrm{d}x=\frac{L^5}{30}$ et ${\int }_0^L(L-2x{)}^2\mathrm{d}x=\frac{L^3}{3}$ ; l'inégalité s'écrit $\frac{L^5}{30}\le \frac{L^2}{{\pi }^2}\cdot \frac{L^3}{3}$, soit ${\pi }^2\le 10$ : elle est vraie, et presque une égalité, car $x(L-x)$ est très proche de son premier mode (exemple 3.15). La constante $\frac{{\pi }^2}{L^2}$ est la plus petite valeur propre de $-\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{x}^2}$ avec conditions de Dirichlet (chapitre 10) : c'est elle qui fixe la fréquence fondamentale d'une corde et la charge critique de flambement d'une poutre.