La fonction valeur absolue — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 3)

La fonction valeur absolue

Espace de Hilbert L² et séries de Fourier · niveau 2

Énoncé

Soit $f$ la fonction $2 π$ -périodique égale à $∣ t ∣$ sur $[- π, π]$ .

Calculer sa série de Fourier et montrer qu'elle converge normalement vers $f$ sur $R$ .
En déduire $k \geq 0 \sum \frac{1}{( 2 k + 1 ) ^{2}}$ , puis, par Parseval, $k \geq 0 \sum \frac{1}{( 2 k + 1 ) ^{4}}$ et $n \geq 1 \sum \frac{1}{n ^{4}}$ .

Corrigé

$f$ est réelle et paire : $b_{n} = 0$ , $a_{0} = \frac{1}{π} \int_{0}^{π} t d t = \frac{π}{2}$ et, pour $n \geq 1$ , par parties,

$a_{n} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} t cos (n t) d t = \frac{2}{π} \cdot \frac{( - 1 ) ^{n} - 1}{n ^{2}},$

soit $a_{2 k} = 0$ et $a_{2 k + 1} = - \frac{4}{π ( 2 k + 1 ) ^{2}}$ . Ainsi la série est $\frac{π}{2} - \frac{4}{π} \sum_{k \geq 0} \frac{c o s (( 2 k + 1 ) t )}{( 2 k + 1 ) ^{2}}$ . $f$ est continue et $C^{1}$ par morceaux : par la proposition 3.11, la série converge normalement vers $f$ (on le voit aussi directement : $∣ a_{n} ∣ \leq \frac{4}{π n ^{2}}$ ).

En $t = 0$ : $0 = \frac{π}{2} - \frac{4}{π} \sum_{k} \frac{1}{( 2 k + 1 ) ^{2}}$ , donc $\sum_{k} \frac{1}{( 2 k + 1 ) ^{2}} = \frac{π ^{2}}{8}$ . Parseval, avec $\frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} t^{2} d t = \frac{π ^{2}}{3}$ :

$\frac{π ^{2}}{4} + \frac{1}{2} k \geq 0 \sum \frac{16}{π ^{2} ( 2 k + 1 ) ^{4}} = \frac{π ^{2}}{3}, donc k \geq 0 \sum \frac{1}{( 2 k + 1 ) ^{4}} = \frac{π ^{4}}{96} .$

En séparant pairs et impairs, $ζ (4) = \frac{π ^{4}}{96} + \frac{ζ ( 4 )}{16}$ , d'où $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n ^{4}} = \frac{16}{15} \cdot \frac{π ^{4}}{96} = \frac{π ^{4}}{90}$ .