La série de Fourier de l'exponentielle

• Ici $T=2\pi$ et $\omega =1$. Pour $n\in \mathbb{Z}$, $1-in\ne 0$ et

$$c_n(f)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{\mathrm{e}}^{(1-in)t}\mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi }\cdot \frac{{\mathrm{e}}^{(1-in)\pi }-{\mathrm{e}}^{-(1-in)\pi }}{1-in}=\frac{(-1{)}^n\mathrm{sh}\pi }{\pi (1-in)},$$

car ${\mathrm{e}}^{in\pi }={\mathrm{e}}^{-in\pi }=(-1{)}^n$.

• $f$ est $C^1$ par morceaux ; en $t=\pi$, elle saute de $f({\pi }^{-})={\mathrm{e}}^{\pi }$ à $f({\pi }^{+})={\mathrm{e}}^{-\pi }$. Par le théorème 3.10, $S_{N}f(\pi )\to \frac{{\mathrm{e}}^{\pi }+{\mathrm{e}}^{-\pi }}{2}=\mathrm{ch}\pi$. Or ${\mathrm{e}}^{in\pi }=(-1{)}^n$ et $\frac{1}{1-in}+\frac{1}{1+in}=\frac{2}{1+n^2}$, donc

$$S_{N}f(\pi )=\frac{\mathrm{sh}\pi }{\pi }\sum _{n=-N}^N\frac{1}{1-in}=\frac{\mathrm{sh}\pi }{\pi }(1+\sum _{n=1}^N\frac{2}{1+n^2}).$$

À la limite, $1+2{\sum }_{n\ge 1}\frac{1}{1+n^2}=\frac{\pi \mathrm{ch}\pi }{\mathrm{sh}\pi }$, soit

$$\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{1}{1+n^2}=\frac{\pi \coth \pi -1}{2}\approx 1,0767.$$

• ${\left|c_n\right|}^2=\frac{{\mathrm{sh}}^2\pi }{{\pi }^2(1+n^2)}$ et $\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{\mathrm{e}}^{2t}\mathrm{d}t=\frac{\mathrm{sh}(2\pi )}{2\pi }=\frac{\mathrm{sh}\pi \mathrm{ch}\pi }{\pi }$. L'égalité de Parseval (théorème 3.9) donne

$$\frac{{\mathrm{sh}}^2\pi }{{\pi }^2}\sum _{n\in \mathbb{Z}}\frac{1}{1+n^2}=\frac{\mathrm{sh}\pi \mathrm{ch}\pi }{\pi },$$

soit ${\sum }_{n\in \mathbb{Z}}\frac{1}{1+n^2}=\pi \coth \pi$, c'est-à-dire $1+2{\sum }_{n\ge 1}\frac{1}{1+n^2}=\pi \coth \pi$ : c'est le même résultat.