Le noyau de Dirichlet

• Si $s\notin T\mathbb{Z}$, ${\mathrm{e}}^{i\omega s}\ne 1$, et la somme géométrique donne

$$D_N(s)={\mathrm{e}}^{-iN\omega s}\frac{{\mathrm{e}}^{i(2N+1)\omega s}-1}{{\mathrm{e}}^{i\omega s}-1}=\frac{{\mathrm{e}}^{i(N+\frac{1}{2})\omega s}-{\mathrm{e}}^{-i(N+\frac{1}{2})\omega s}}{{\mathrm{e}}^{i\omega s/2}-{\mathrm{e}}^{-i\omega s/2}}=\frac{\sin ((N+\frac{1}{2})\omega s)}{\sin (\omega s/2)},$$

en multipliant numérateur et dénominateur par ${\mathrm{e}}^{-i\omega s/2}$. Si $s\in T\mathbb{Z}$, chacun des $2N+1$ termes vaut $1$. En particulier, $D_N$ est réelle et paire.

• $D_N={\sum }_{n=-N}^N{e}_n$, où $e_n(s)={\mathrm{e}}^{in\omega s}$ forment une famille orthonormale de $L_T^2$. Donc $\frac{1}{T}{\int }_0^T{D}_N={⟨D_N,e_0⟩}_T=1$ et, $D_N$ étant réelle, $\frac{1}{T}{\int }_0^T{D}_N^2={\Vert D_N\Vert }_{2,T}^2={\sum }_{n=-N}^{N}1=2N+1$ (Pythagore). L'intégrale de $D_N$ reste égale à $1$ tandis que son énergie croît comme $2N+1$ : $D_N$ se concentre autour des multiples de $T$, où elle vaut $2N+1$.
• Par définition, et en échangeant la somme finie et l'intégrale,

$$S_{N}f(t)=\sum _{n=-N}^N(\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}f(u){\mathrm{e}}^{-in\omega u}\mathrm{d}u){\mathrm{e}}^{in\omega t}=\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}f(u)D_N(t-u)\mathrm{d}u.$$

Le changement de variable $s=t-u$ transforme l'intervalle d'intégration en $[t-\frac{T}{2},t+\frac{T}{2}]$, de longueur $T$ ; comme $s\mapsto f(t-s)D_N(s)$ est $T$-périodique, son intégrale sur cet intervalle est égale à son intégrale sur $[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]$, d'où la formule. C'est le point de départ de la preuve du théorème 3.10.