Le procédé de Gram--Schmidt dans $L^2(0,1)$

• ${\Vert 1\Vert }_2=1$, donc $e_0=1$. Ensuite $⟨x,e_0⟩=\frac{1}{2}$ et $v_1=x-\frac{1}{2}$, de norme $({\int }_0^1(x-\frac{1}{2}{)}^2\mathrm{d}x{)}^{1/2}=\frac{1}{\sqrt{12}}$, d'où $e_1=\sqrt{12}(x-\frac{1}{2})=\sqrt{3}(2x-1)$. Puis $⟨x^2,e_0⟩=\frac{1}{3}$ et $⟨x^2,e_1⟩=\sqrt{3}{\int }_0^1(2x^3-x^2)\mathrm{d}x=\sqrt{3}(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})=\frac{\sqrt{3}}{6}$, d'où

$$v_2=x^2-\frac{1}{3}-\frac{\sqrt{3}}{6}\cdot \sqrt{3}(2x-1)=x^2-x+\frac{1}{6},{\Vert v_2\Vert }_2^2={\int }_0^1(x^2-x+\frac{1}{6}{)}^2\mathrm{d}x=\frac{1}{180},$$

et $e_2=\sqrt{180}(x^2-x+\frac{1}{6})=\sqrt{5}(6x^2-6x+1)$. Ce sont, normalisés, les polynômes de Legendre transportés de $[-1,1]$ sur $[0,1]$ par le changement de variable $x\mapsto 2x-1$.

• Par le théorème 3.1, $q={\sum }_{k=0}^2⟨x^3,e_k⟩e_k$, avec

$$⟨x^3,e_0⟩=\frac{1}{4},⟨x^3,e_1⟩=\sqrt{3}(\frac{2}{5}-\frac{1}{4})=\frac{3\sqrt{3}}{20},⟨x^3,e_2⟩=\sqrt{5}(1-\frac{6}{5}+\frac{1}{4})=\frac{\sqrt{5}}{20}.$$

D'où $q=\frac{1}{4}+\frac{9}{20}(2x-1)+\frac{1}{4}(6x^2-6x+1)=\frac{3}{2}{x}^2-\frac{3}{5}x+\frac{1}{20}$. Le minimum est

$${\Vert x^3-q\Vert }_2^2={\Vert x^3\Vert }_2^2-\sum _{k=0}^2{⟨x^3,e_k⟩}^2=\frac{1}{7}-(\frac{1}{16}+\frac{27}{400}+\frac{5}{400})=\frac{1}{7}-\frac{57}{400}=\frac{1}{2800},$$

soit une erreur quadratique ${\Vert x^3-q\Vert }_2=\frac{1}{20\sqrt{7}}\approx 0,0189$.

• Avec $q=c_0+c_{1}x+c_2{x}^2$, les conditions $⟨x^3-q,x^j⟩=0$, $j=0,1,2$, et $⟨x^i,x^j⟩=\frac{1}{i+j+1}$ donnent le système

$$\{\begin{array}{l}{c}_0+\frac{1}{2}{c}_1+\frac{1}{3}{c}_2=\frac{1}{4}\\ \frac{1}{2}{c}_0+\frac{1}{3}{c}_1+\frac{1}{4}{c}_2=\frac{1}{5}\\ \frac{1}{3}{c}_0+\frac{1}{4}{c}_1+\frac{1}{5}{c}_2=\frac{1}{6}\end{array}$$

(matrice de Hilbert d'ordre $3$, exemple 3.2), dont on vérifie que $(c_0,c_1,c_2)=(\frac{1}{20},-\frac{3}{5},\frac{3}{2})$ est la solution : par exemple, pour la première ligne, $\frac{1}{20}-\frac{3}{10}+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$. Les deux méthodes donnent le même $q$, comme le veut l'unicité de la meilleure approximation.