Le signal signe — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 3)

Le signal signe

Espace de Hilbert L² et séries de Fourier · niveau 2

Énoncé

Soit $f$ la fonction $2 π$ -périodique égale à $- 1$ sur $[- π, 0 [$ et à $1$ sur $[0, π [$ .

Calculer sa série de Fourier.
Préciser en quels points la série converge vers $f (t)$ . Que vaut sa somme en $t = 0$ ?
En déduire $k = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{k}}{2 k + 1}$ , puis, par Parseval, $k = 0 \sum + \infty \frac{1}{( 2 k + 1 ) ^{2}}$ et $n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n ^{2}}$ .

Corrigé

$f$ est réelle et impaire (aux points $k π$ près, négligeables) : $a_{n} = 0$ . Pour $n \geq 1$ ,

$b_{n} = \frac{4}{2 π} \int_{0}^{π} sin (n t) d t = \frac{2}{π} \cdot \frac{1 - ( - 1 ) ^{n}}{n},$

soit $b_{2 k} = 0$ et $b_{2 k + 1} = \frac{4}{π ( 2 k + 1 )}$ . La série de Fourier est $\frac{4}{π} k \geq 0 \sum \frac{sin (( 2 k + 1 ) t )}{2 k + 1}$ .

$f$ est $C^{1}$ par morceaux. Par Dirichlet, la série converge vers $f (t)$ en tout $t \in / π Z$ , et vers $\frac{1 + ( - 1 )}{2} = 0$ en $t = k π$ : en $t = 0$ , la somme vaut $0$ alors que $f (0) = 1$ .
En $t = \frac{π}{2}$ : $1 = \frac{4}{π} \sum_{k} \frac{( - 1 ) ^{k}}{2 k + 1}$ , donc $\sum_{k} \frac{( - 1 ) ^{k}}{2 k + 1} = \frac{π}{4}$ . Par Parseval, avec $\frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f^{2} = 1$ :

$\frac{1}{2} k \geq 0 \sum \frac{16}{π ^{2} ( 2 k + 1 ) ^{2}} = 1, donc k \geq 0 \sum \frac{1}{( 2 k + 1 ) ^{2}} = \frac{π ^{2}}{8} .$

Enfin, en séparant les termes pairs et impairs (tous positifs), $S = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n ^{2}} = \frac{π ^{2}}{8} + \sum_{k \geq 1} \frac{1}{4 k ^{2}} = \frac{π ^{2}}{8} + \frac{S}{4}$ , d'où $S = \frac{π ^{2}}{6}$ .