Lemme de Riemann--Lebesgue — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 3)

Lemme de Riemann--Lebesgue

Espace de Hilbert L² et séries de Fourier · niveau 2

Énoncé

Soit $f \in L^{1} ([0, T])$ . On veut montrer que $c_{n} (f) \to 0$ quand $∣ n ∣ \to + \infty$ .

Le montrer lorsque $f$ est l'indicatrice d'un intervalle, puis lorsque $f$ est en escalier.
Conclure à l'aide de la densité des fonctions en escalier dans $L^{1}$ .
Retrouver le résultat, lorsque $f \in L_{T}^{2}$ , par l'inégalité de Bessel.

Pour $f = 1_{[α, β]}$ avec $[α, β] \subset [0, T]$ et $n \neq = 0$ , $c_{n} (f) = \frac{1}{T} \cdot \frac{e ^{- inω α} - e ^{- inω β}}{inω}$ , de module $\leq \frac{2}{T ∣ n ∣ ω} = \frac{1}{π ∣ n ∣} \to 0$ . Par linéarité, c'est encore vrai pour une fonction en escalier.
Soit $ε > 0$ et $φ$ en escalier avec $∥ f - φ ∥_{1} \leq εT$ (densité, théorème 2.9). Alors $∣ c_{n} (f) ∣ \leq ∣ c_{n} (f - φ) ∣ + ∣ c_{n} (φ) ∣ \leq \frac{1}{T} ∥ f - φ ∥_{1} + ∣ c_{n} (φ) ∣ \leq ε + ∣ c_{n} (φ) ∣$ , et le dernier terme est $\leq ε$ pour $∣ n ∣$ assez grand.
Si $f \in L_{T}^{2}$ , l'inégalité de Bessel dit que $\sum_{n} ∣ c_{n} (f) ∣^{2}$ converge : son terme général tend vers $0$ .