Meilleure approximation polynomiale — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 3)

Meilleure approximation polynomiale

Espace de Hilbert L² et séries de Fourier · niveau 2

Énoncé

Vérifier, par la formule de Rodrigues, les expressions de $P_{0}$ , $P_{1}$ , $P_{2}$ , $P_{3}$ , et calculer $⟨ P_{1}, P_{3} ⟩$ et $∥ P_{2} ∥_{2}^{2}$ dans $L^{2} (- 1, 1)$ .
Déterminer le polynôme $q$ de degré $\leq 1$ qui minimise $\int_{- 1}^{1} (e^{x} - q (x))^{2} d x$ .

Corrigé

$\frac{d}{d x} (x^{2} - 1) = 2 x$ donne $P_{1} = x$ ; $\frac{d ^{2}}{d x ^{2}} (x^{2} - 1)^{2} = 12 x^{2} - 4$ donne $P_{2} = \frac{12 x ^{2} - 4}{8} = \frac{3 x ^{2} - 1}{2}$ ; $\frac{d ^{3}}{d x ^{3}} (x^{2} - 1)^{3} = 120 x^{3} - 72 x$ donne $P_{3} = \frac{120 x ^{3} - 72 x}{48} = \frac{5 x ^{3} - 3 x}{2}$ . Ensuite $⟨ P_{1}, P_{3} ⟩ = \int_{- 1}^{1} \frac{5 x ^{4} - 3 x ^{2}}{2} d x = \frac{1}{2} (2 - 2) = 0$ et $∥ P_{2} ∥_{2}^{2} = \frac{1}{4} \int_{- 1}^{1} (9 x^{4} - 6 x^{2} + 1) d x = \frac{1}{4} (\frac{18}{5} - 4 + 2) = \frac{2}{5}$ , conforme à $\frac{2}{2 n + 1}$ .
C'est la projection de $e^{x}$ sur $Vect (P_{0}, P_{1})$ :

$q = \frac{\int _{- 1}^{1} e ^{x} d x}{2} + \frac{\int _{- 1}^{1} x e ^{x} d x}{2/3} x = sh 1 + 3 e^{- 1} x \approx 1, 1752 + 1, 1036 x,$

car $\int_{- 1}^{1} e^{x} = e - e^{- 1}$ et $\int_{- 1}^{1} x e^{x} = [(x - 1) e^{x}]_{- 1}^{1} = 2 e^{- 1}$ . Ce n'est pas le développement de Taylor $1 + x$ : la meilleure approximation quadratique répartit l'erreur sur tout l'intervalle.