Redressement double alternance — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 3)

Redressement double alternance

Espace de Hilbert L² et séries de Fourier · niveau 2

Énoncé

La tension délivrée par un redresseur double alternance est $u (t) = U ∣ sin (ω_{0} t) ∣$ , avec $U > 0$ et $ω_{0} > 0$ .

Quelle est la période de $u$ ? Calculer sa valeur moyenne et sa valeur efficace.
Montrer que $u (t) = \frac{2 U}{π} - \frac{4 U}{π} \sum_{n \geq 1} \frac{c o s ( 2 n ω _{0} t )}{4 n ^{2} - 1}$ pour tout $t$ .
En déduire $n \geq 1 \sum \frac{1}{4 n ^{2} - 1}$ et $n \geq 1 \sum \frac{1}{( 4 n ^{2} - 1 ) ^{2}}$ .

Corrigé

$∣ sin ∣$ est $π$ -périodique, donc $u$ est de période $T = \frac{π}{ω _{0}}$ (pulsation $2 ω_{0}$ ). Valeur moyenne : $\frac{1}{π} \int_{0}^{π} U sin s d s = \frac{2 U}{π}$ (on a posé $s = ω_{0} t$ ). Valeur efficace : $(\frac{1}{π} \int_{0}^{π} U^{2} sin^{2} s d s)^{1/2} = \frac{U}{2}$ .
$u$ est paire : $b_{n} = 0$ , et avec $s = ω_{0} t$ ,

$a_{n} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} U sin s cos (2 n s) d s = \frac{U}{π} \int_{0}^{π} (sin ((2 n + 1) s) - sin ((2 n - 1) s)) d s = \frac{U}{π} (\frac{2}{2 n + 1} - \frac{2}{2 n - 1}) = - \frac{4 U}{π ( 4 n ^{2} - 1 )} .$

$u$ est continue et $C^{1}$ par morceaux : sa série de Fourier converge normalement vers $u$ , d'où la formule pour tout $t$ .

En $t = 0$ : $0 = \frac{2 U}{π} - \frac{4 U}{π} \sum_{n} \frac{1}{4 n ^{2} - 1}$ , donc $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{4 n ^{2} - 1} = \frac{1}{2}$ (c'est aussi une série télescopique). Parseval : $\frac{U ^{2}}{2} = \frac{4 U ^{2}}{π ^{2}} + \frac{1}{2} \sum_{n} \frac{16 U ^{2}}{π ^{2} ( 4 n ^{2} - 1 ) ^{2}}$ , donc $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{( 4 n ^{2} - 1 ) ^{2}} = \frac{π ^{2} - 8}{16} \approx 0, 1169$ .