Taux de distorsion harmonique — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 3)

Taux de distorsion harmonique

Espace de Hilbert L² et séries de Fourier · niveau 2

Énoncé

Soit $f$ un signal réel, $T$ -périodique, de carré intégrable sur une période et de valeur moyenne nulle, de coefficients de Fourier réels $a_{n}$ , $b_{n}$ . Sa puissance moyenne est $P = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f^{2}$ ; celle de son fondamental $a_{1} cos (ω t) + b_{1} sin (ω t)$ est $P_{1} = \frac{1}{2} (a_{1}^{2} + b_{1}^{2})$ , que l'on suppose non nulle. Le taux de distorsion harmonique est le rapport des valeurs efficaces des harmoniques de rang $\geq 2$ et du fondamental :

$τ = \frac{( \sum _{n \geq 2} ( a _{n}^{2} + b _{n}^{2} ) ) ^{1/2}}{( a _{1}^{2} + b _{1}^{2} ) ^{1/2}} .$

Montrer que $τ = \frac{P}{P _{1}} - 1$ .
Calculer $τ$ pour le signal signe de l'exercice 3.5.
Calculer $τ$ pour le signal triangulaire $2 π$ -périodique égal à $∣ t ∣ - \frac{π}{2}$ sur $[- π, π]$ , à l'aide de l'exercice 3.6. Lequel des deux signaux est le plus proche d'une sinusoïde ?

Corrigé

L'égalité de Parseval (théorème 3.9) avec $a_{0} = 0$ s'écrit $P = \frac{1}{2} \sum_{n \geq 1} (a_{n}^{2} + b_{n}^{2}) = P_{1} + \frac{1}{2} \sum_{n \geq 2} (a_{n}^{2} + b_{n}^{2})$ . Donc $τ^{2} = \frac{\frac{1}{2} \sum _{n \geq 2} ( a _{n}^{2} + b _{n}^{2} )}{P _{1}} = \frac{P - P _{1}}{P _{1}}$ .
Le signal signe est de moyenne nulle, de puissance $P = 1$ , avec $a_{1} = 0$ et $b_{1} = \frac{4}{π}$ (exercice 3.5). Donc $P_{1} = \frac{8}{π ^{2}}$ et $τ = \frac{π ^{2}}{8} - 1 \approx 0, 483$ , soit $48 %$ .
Le signal $g (t) = ∣ t ∣ - \frac{π}{2}$ a les mêmes coefficients que $∣ t ∣$ , sauf $a_{0}$ , qui devient $\frac{π}{2} - \frac{π}{2} = 0$ : $a_{1} = - \frac{4}{π}$ et $b_{1} = 0$ , d'où $P_{1} = \frac{8}{π ^{2}}$ . Sa puissance est $P = \frac{1}{π} \int_{0}^{π} (t - \frac{π}{2})^{2} d t = \frac{π ^{2}}{12}$ , donc

$τ = \frac{π ^{2}}{12} \cdot \frac{π ^{2}}{8} - 1 = \frac{π ^{4}}{96} - 1 \approx 0, 121,$

soit $12 %$ . Le signal triangulaire, continu, a des harmoniques en $\frac{1}{n ^{2}}$ et non en $\frac{1}{n}$ : il est environ quatre fois moins distordu que le signal carré. On retrouve d'ailleurs $\frac{P}{P _{1}} = \sum_{k \geq 0} \frac{1}{( 2 k + 1 ) ^{4}} = \frac{π ^{4}}{96}$ (exercice 3.6).