Base oblique du plan — exercice corrigé de calcul tensoriel (école d'ingénieur) (chapitre 2)

Base oblique du plan

Algèbre tensorielle · niveau 2

Énoncé

Dans le plan euclidien muni d'une base orthonormée, on considère la base $e_{1} = (1, 0)$ , $e_{2} = (1, 1)$ et le vecteur $u = 3 e_{1} + 2 e_{2}$ .

Calculer la matrice $G = (g_{ij})$ du tenseur métrique dans la base $(e_{1}, e_{2})$ , puis $G^{- 1} = (g^{ij})$ .
Calculer les composantes covariantes $u_{1}, u_{2}$ de $u$ et vérifier que $u_{i} = ⟨ u, e_{i} ⟩$ .
Calculer $∥ u ∥^{2}$ de deux façons.
Les formes $e^{1}$ , $e^{2}$ de la base duale correspondent, par montée d'indice, à deux vecteurs $(e^{1})^{♯}$ et $(e^{2})^{♯}$ . Les déterminer et les interpréter.

$g_{11} = ⟨ e_{1}, e_{1} ⟩ = 1$ , $g_{12} = g_{21} = ⟨ e_{1}, e_{2} ⟩ = 1$ , $g_{22} = ⟨ e_{2}, e_{2} ⟩ = 2$ , d'où

$G = (1112), det G = 1, G^{- 1} = (2 - 1 - 1 1) .$

$u_{1} = g_{11} u^{1} + g_{12} u^{2} = 3 + 2 = 5$ et $u_{2} = g_{21} u^{1} + g_{22} u^{2} = 3 + 4 = 7$ . En coordonnées orthonormées, $u = (5, 2)$ , et l'on a bien $⟨ u, e_{1} ⟩ = 5$ , $⟨ u, e_{2} ⟩ = 5 + 2 = 7$ (figure 2.4).
$∥ u ∥^{2} = u^{i} u_{i} = 3 \times 5 + 2 \times 7 = 29$ , et directement $5^{2} + 2^{2} = 29$ .
$(e^{1})^{♯} = g^{1 j} e_{j} = 2 e_{1} - e_{2} = (1, - 1)$ et $(e^{2})^{♯} = g^{2 j} e_{j} = - e_{1} + e_{2} = (0, 1)$ . On vérifie que $(e^{i})^{♯}$ est orthogonal à $e_{j}$ pour $j \neq = i$ et que $⟨ (e^{i})^{♯}, e_{i} ⟩ = 1$ : c'est la « base réciproque » utilisée en cristallographie. Enfin $u^{i} = ⟨ u, (e^{i})^{♯} ⟩$ : $⟨ (5, 2), (1, - 1) ⟩ = 3$ et $⟨ (5, 2), (0, 1) ⟩ = 2$ .