Contractions d'un tenseur de type (1,3) — exercice corrigé de calcul tensoriel (école d'ingénieur) (chapitre 2)

Contractions d'un tenseur de type

(1, 3)

Algèbre tensorielle · niveau 2

Énoncé

Soit $R$ un tenseur de type $(1, 3)$ , de composantes $R_{j k l}^{i}$ — c'est le type du tenseur de courbure de Riemann (section 3.9).

Montrer que les nombres $S_{j l} = R_{j n l}^{n}$ (somme sur $n$ ) sont les composantes d'un tenseur de type $(0, 2)$ .
Soit $T$ un tenseur de type $(2, 2)$ . Montrer que $τ = T_{ij}^{ij}$ (double contraction) est un scalaire, indépendant du système de coordonnées.
Combien de contractions différentes d'un exposant avec un indice peut-on former à partir de $R$ ? Quel est leur type ?

Corrigé

La loi de transformation d'un tenseur $(1, 3)$ s'écrit

$R ~_{b c d}^{a} = \frac{\partial y ^{a}}{\partial x ^{i}} \frac{\partial x ^{j}}{\partial y ^{b}} \frac{\partial x ^{k}}{\partial y ^{c}} \frac{\partial x ^{l}}{\partial y ^{d}} R_{j k l}^{i} .$

Faisons $c = a$ et sommons : $\frac{\partial y ^{a}}{\partial x ^{i}} \frac{\partial x ^{k}}{\partial y ^{a}} = δ_{i}^{k}$ , d'où $S ~_{b d} = R ~_{ba d}^{a} = \frac{\partial x ^{j}}{\partial y ^{b}} \frac{\partial x ^{l}}{\partial y ^{d}} R_{j i l}^{i} = \frac{\partial x ^{j}}{\partial y ^{b}} \frac{\partial x ^{l}}{\partial y ^{d}} S_{j l}$ : c'est la loi d'un tenseur $(0, 2)$ .

Le même mécanisme, appliqué deux fois, fait disparaître toutes les dérivées partielles : $T ~_{ab}^{ab} = T_{ij}^{ij}$ .
On peut contracter l'exposant $i$ avec $j$ , $k$ ou $l$ : trois contractions, toutes de type $(0, 2)$ . (En relativité, l'une d'elles est le tenseur de Ricci ; les autres s'en déduisent par les symétries de $R$ .)