Contractions et invariants

Algèbre tensorielle · niveau 2

Énoncé

Soient $T$ et $S$ deux tenseurs de type $(1, 1)$ , $A$ un tenseur de type $(0, 2)$ , et $u, v$ deux vecteurs.

Lesquelles de ces quantités sont des scalaires (indépendants des coordonnées) ?

$(a) g^{ij} A_{ij} (b) \sum_{i} A_{ii} (c) T_{j}^{i} S_{i}^{j} (d) \sum_{i} u^{i} v^{i} (e) A_{ij} u^{i} v^{j}$

En déduire que $tr (T S) = tr (S T)$ sans calcul matriciel.

Corrigé

(a) oui : contraction complète de $g^{- 1} \otimes A$ (c'est la trace du tenseur $(1, 1)$ associé à $A$ ) ; (b) non : les deux indices répétés sont en bas, ce n'est invariant que pour des changements de base orthogonaux ; (c) oui ; (d) non, pour la même raison que (b) — la bonne écriture est $g_{ij} u^{i} v^{j}$ ; (e) oui.
$tr (T S) = T_{j}^{i} S_{i}^{j}$ et $tr (S T) = S_{i}^{j} T_{j}^{i}$ : ce sont les mêmes produits de nombres réels, pris dans un autre ordre.

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