Coordonnées cylindriques

Algèbre tensorielle · niveau 2

Énoncé

On pose $x^{1} = r cos θ$ , $x^{2} = r sin θ$ , $x^{3} = z$ .

Déterminer la matrice jacobienne, les vecteurs $E_{r}, E_{θ}, E_{z}$ et le tenseur métrique.
Calculer la longueur d'une spire de l'hélice $r = R$ , $θ = t$ , $z = h t$ , $t \in [0, 2 π]$ .
Exprimer le vecteur gradient d'une fonction $f (r, θ, z)$ dans la base normée.

Corrigé

$J = cos θ sin θ 0 - r sin θ r cos θ 0 001$ ; $E_{r} = (cos θ, sin θ, 0)$ , $E_{θ} = (- r sin θ, r cos θ, 0)$ , $E_{z} = (0, 0, 1)$ ; $G = J^{T} J = diag (1, r^{2}, 1)$ , soit $d s^{2} = d r^{2} + r^{2} d θ^{2} + d z^{2}$ .
Le vecteur vitesse a pour composantes $(0, 1, h)$ , donc $∥ x ˙ ∥^{2} = g_{ij} x ˙^{i} x ˙^{j} = R^{2} + h^{2}$ et $L = 2 π R^{2} + h^{2}$ . On retrouve la diagonale du rectangle obtenu en « déroulant » le cylindre.
$G^{- 1} = diag (1, 1/ r^{2}, 1)$ , donc $grad f = \partial_{r} f E_{r} + \frac{1}{r ^{2}} \partial_{θ} f E_{θ} + \partial_{z} f E_{z} = \partial_{r} f e^_{r} + \frac{1}{r} \partial_{θ} f e^_{θ} + \partial_{z} f e_{z}$ .

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