calcul tensoriel (école d'ingénieur) · Chapitre 2 · Exercice de TD

Critère de von Mises pour une poutre

Algèbre tensorielle · niveau 2

Énoncé

En un point d'une poutre sollicitée en flexion et en torsion, le tenseur des contraintes vaut, en base orthonormée, $(σ_{j}^{i}) = σ τ 0 τ 00 000$ .

Calculer les invariants $I_{1}$ , $I_{2}$ , $I_{3}$ et les contraintes principales.
Le déviateur des contraintes est $s_{j}^{i} = σ_{j}^{i} - \frac{1}{3} σ_{k}^{k} δ_{j}^{i}$ , et l'on pose $J_{2} = \frac{1}{2} s_{j}^{i} s_{i}^{j}$ . Montrer que $J_{2} = \frac{1}{3} I_{1}^{2} - I_{2}$ pour tout tenseur, puis que la contrainte équivalente de von Mises vaut ici $σ_{VM} = 3 J_{2} = σ^{2} + 3 τ^{2}$ .
Pour $σ = 120$ MPa et $τ = 50$ MPa, calculer $σ_{VM}$ et la contrainte de Tresca $σ_{I} - σ_{III}$ (différence des contraintes principales extrêmes). Un acier S235 (limite d'élasticité $235$ MPa) convient-il ? Avec quel coefficient de sécurité selon von Mises ?
Pourquoi un critère de rupture doit-il s'exprimer à l'aide des seuls invariants ?

Corrigé

$I_{1} = σ$ , $I_{2} = \frac{1}{2} (I_{1}^{2} - tr σ^{2}) = \frac{1}{2} (σ^{2} - (σ^{2} + 2 τ^{2})) = - τ^{2}$ , $I_{3} = 0$ . Le polynôme caractéristique $- λ^{3} + σ λ^{2} + τ^{2} λ$ a pour racines $0$ et $\frac{σ}{2} \pm \frac{σ ^{2}}{4} + τ^{2}$ .
$tr (s^{2}) = tr (σ^{2}) - \frac{2}{3} I_{1} tr σ + \frac{1}{9} I_{1}^{2} δ_{i}^{i} = tr (σ^{2}) - \frac{1}{3} I_{1}^{2}$ , et $tr (σ^{2}) = I_{1}^{2} - 2 I_{2}$ , d'où $J_{2} = \frac{1}{2} tr (s^{2}) = \frac{1}{3} I_{1}^{2} - I_{2}$ . Ici $J_{2} = \frac{σ ^{2}}{3} + τ^{2}$ , donc $σ_{VM} = σ^{2} + 3 τ^{2}$ .
$σ_{VM} = 14400 + 7500 \approx 148$ MPa. Contraintes principales : $60 \pm 3600 + 2500$ , soit $138, 1$ , $0$ et $- 18, 1$ MPa ; Tresca : $138, 1 + 18, 1 \approx 156$ MPa. Les deux restent sous $235$ MPa : l'acier convient, avec un coefficient de sécurité $235/148 \approx 1, 59$ selon von Mises (et $1, 50$ selon Tresca, plus prudent).
Un critère exprime une propriété de la matière en ce point ; elle ne peut pas dépendre du repère choisi pour écrire les composantes. Seules les fonctions des invariants $I_{1}$ , $I_{2}$ , $I_{3}$ ont cette propriété.

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