Invariants et valeurs propres

Algèbre tensorielle · niveau 2

Énoncé

Dans une base orthonormée de $R^{3}$ , un tenseur $(1, 1)$ a pour matrice

$T = 210120003 .$

Calculer ses invariants $I_{1}$ , $I_{2}$ , $I_{3}$ .
En déduire son polynôme caractéristique et ses valeurs propres.
Déterminer ses directions principales.

Corrigé

$I_{1} = 2 + 2 + 3 = 7$ . $I_{2}$ est la somme des mineurs principaux d'ordre 2 : $(4 - 1) + 6 + 6 = 15$ . $I_{3} = det T = 3 \times (4 - 1) = 9$ .
$det (T - λ δ) = - λ^{3} + 7 λ^{2} - 15 λ + 9 = - (λ - 1) (λ - 3)^{2}$ . Les valeurs propres sont $1$ (simple) et $3$ (double).
Pour $λ = 1$ : $u = (1, - 1, 0)$ . Pour $λ = 3$ : le plan engendré par $(1, 1, 0)$ et $(0, 0, 1)$ . Ces directions sont orthogonales, comme il se doit pour un tenseur symétrique.

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