calcul tensoriel (école d'ingénieur) · Chapitre 2 · Application directe du cours

La métrique duale est un tenseur

Algèbre tensorielle · niveau 2

Énoncé

Montrer que les coefficients $g^{ij}$ de la matrice $G^{- 1}$ se transforment comme les composantes d'un tenseur de type $(2, 0)$ .

Corrigé

D'après (2.5), $G ~ = J^{T} G J$ , donc $G ~^{- 1} = J^{- 1} G^{- 1} (J^{- 1})^{T}$ . En composantes, avec $(J^{- 1})_{i}^{a} = \partial y^{a} / \partial x^{i}$ :

$g ~^{ab} = \frac{\partial y ^{a}}{\partial x ^{i}} \frac{\partial y ^{b}}{\partial x ^{j}} g^{ij},$

ce qui est exactement la loi (2.2) pour un tenseur de type $(2, 0)$ .

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