Loi du quotient — exercice corrigé de calcul tensoriel (école d'ingénieur) (chapitre 2)

Loi du quotient

Algèbre tensorielle · niveau 2

Énoncé

On suppose que des nombres $A_{j k}^{i}$ , définis dans chaque système de coordonnées, vérifient $A_{j k}^{i} B_{h}^{j k} = C_{h}^{i}$ pour tout tenseur $B$ de type $(2, 1)$ , le résultat $C$ étant toujours un tenseur de type $(1, 1)$ . Montrer que les $A_{j k}^{i}$ sont les composantes d'un tenseur de type $(1, 2)$ . Pourquoi l'hypothèse « pour tout $B$ » est-elle indispensable ?

Corrigé

Dans les nouvelles coordonnées, $A ~_{b c}^{a} B ~_{d}^{b c} = C ~_{d}^{a}$ . Comme $C$ est un tenseur $(1, 1)$ et $B$ un tenseur $(2, 1)$ ,

$C ~_{d}^{a} = \frac{\partial y ^{a}}{\partial x ^{i}} \frac{\partial x ^{h}}{\partial y ^{d}} C_{h}^{i} = \frac{\partial y ^{a}}{\partial x ^{i}} \frac{\partial x ^{h}}{\partial y ^{d}} A_{j k}^{i} B_{h}^{j k}, B_{h}^{j k} = \frac{\partial x ^{j}}{\partial y ^{b}} \frac{\partial x ^{k}}{\partial y ^{c}} \frac{\partial y ^{e}}{\partial x ^{h}} B ~_{e}^{b c} .$

Avec $\frac{\partial x ^{h}}{\partial y ^{d}} \frac{\partial y ^{e}}{\partial x ^{h}} = δ_{d}^{e}$ , il vient

$(A ~_{b c}^{a} - \frac{\partial y ^{a}}{\partial x ^{i}} \frac{\partial x ^{j}}{\partial y ^{b}} \frac{\partial x ^{k}}{\partial y ^{c}} A_{j k}^{i}) B ~_{d}^{b c} = 0.$

Cette égalité vaut pour tout tenseur $B$ ; en choisissant pour $B ~$ le tenseur dont une seule composante $B ~_{δ}^{β γ}$ vaut $1$ , on obtient que chaque parenthèse est nulle : c'est la loi de transformation d'un tenseur $(1, 2)$ . Pour un seul $B$ particulier, on n'obtiendrait qu'une combinaison linéaire des parenthèses (avec $B = 0$ , rien du tout) : c'est parce que le produit contracté reste tensoriel quel que soit $B$ que l'on peut conclure.