calcul tensoriel (école d'ingénieur) · Chapitre 2 · Exercice de TD

Métrique non orthonormée et changement de base

Algèbre tensorielle · niveau 2

Énoncé

Dans une base $(e_{i})$ de $R^{2}$ , le tenseur métrique a pour composantes $[g_{ij}] = (3112)$ . On considère les vecteurs $u = u^{i} e_{i} = e_{1} - e_{2}$ et $v = v^{i} e_{i} = 2 e_{2}$ .

Vérifier que $(g_{ij})$ définit bien un produit scalaire.
Déterminer les composantes covariantes $u_{i}$ et $v_{i}$ , puis $∥ u ∥^{2}$ , $∥ v ∥^{2}$ , $⟨ u, v ⟩$ et l'angle entre $u$ et $v$ .
On change de base : $E_{I} = a_{I}^{i} e_{i}$ avec $[a_{I}^{i}] = (11 - 1 1)$ (ligne $i$ , colonne $I$ ), c'est-à-dire $E_{1} = e_{1} + e_{2}$ et $E_{2} = - e_{1} + e_{2}$ . Calculer les nouvelles composantes $G_{I J}$ du tenseur métrique.
Calculer les nouvelles composantes contravariantes $U^{I}$ , $V^{I}$ et covariantes $U_{I}$ , $V_{I}$ ; vérifier que $U_{I} = G_{I J} U^{J}$ . Recalculer enfin $∥ u ∥^{2}$ , $∥ v ∥^{2}$ et $⟨ u, v ⟩$ dans la nouvelle base.

Corrigé

La matrice est symétrique, $g_{11} = 3 > 0$ et $det g = 5 > 0$ : elle est définie positive, c'est bien la matrice d'un produit scalaire.
$u_{i} = g_{ij} u^{j}$ : $(u_{1}, u_{2}) = (3 - 1, 1 - 2) = (2, - 1)$ et $(v_{1}, v_{2}) = (2, 4)$ . Alors $∥ u ∥^{2} = u_{i} u^{i} = 2 + 1 = 3$ , $∥ v ∥^{2} = v_{i} v^{i} = 0 + 8 = 8$ et $⟨ u, v ⟩ = u_{i} v^{i} = 0 - 2 = - 2$ . Donc $cos (u, v) = \frac{- 2}{3 \cdot 8} = - \frac{1}{6}$ , soit un angle d'environ $114, 1^{\circ}$ .
$G_{I J} = a_{I}^{i} a_{J}^{j} g_{ij}$ , c'est-à-dire $[G] = A^{T} [g] A$ :

$[G_{I J}] = (7 - 1 - 1 3)$

(par exemple $G_{11} = ⟨ E_{1}, E_{1} ⟩ = g_{11} + 2 g_{12} + g_{22} = 7$ ). On remarque $det G = 20 = det g \cdot (det A)^{2}$ .

$U = A^{- 1} u = (0, - 1)$ et $V = A^{- 1} v = (1, 1)$ : en effet $u = - E_{2}$ et $v = E_{1} + E_{2}$ . Les composantes covariantes se transforment avec $A$ : $U_{I} = a_{I}^{i} u_{i}$ , d'où $(U_{1}, U_{2}) = (2 - 1, - 2 - 1) = (1, - 3)$ et $(V_{1}, V_{2}) = (6, 2)$ ; on vérifie $G_{I J} U^{J} = (0 + 1, 0 - 3) = (1, - 3)$ . Enfin $U_{I} U^{I} = 0 + 3 = 3$ , $V_{I} V^{I} = 6 + 2 = 8$ , $U_{I} V^{I} = 1 - 3 = - 2$ : les trois nombres sont inchangés, ce sont des invariants.

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