Permutations permises et interdites — exercice corrigé de calcul tensoriel (école d'ingénieur) (chapitre 2)

Permutations permises et interdites

Algèbre tensorielle · niveau 2

Énoncé

Soit $B$ un tenseur de type $(0, 2)$ . Montrer que les nombres $C_{ij} = B_{j i}$ sont les composantes d'un tenseur de type $(0, 2)$ .
Soit $T$ un tenseur de type $(1, 1)$ . On définit, dans chaque base, des nombres $S_{j}^{i}$ en « échangeant l'exposant et l'indice » : la matrice $[S_{j}^{i}]$ est la transposée de $[T_{j}^{i}]$ . Dans $R^{2}$ , on prend $[T_{j}^{i}] = (0010)$ dans la base $(e_{1}, e_{2})$ , et la nouvelle base $E_{1} = e_{1}$ , $E_{2} = 2 e_{2}$ .

Calculer les composantes de $T$ dans la nouvelle base, puis la transposée de cette matrice.
Calculer ce que donnerait la loi de transformation d'un tenseur $(1, 1)$ appliquée aux $S_{j}^{i}$ de l'ancienne base.
Conclure.

En présence d'un tenseur métrique, montrer que $(T^{t})_{j}^{i} = g^{ik} T_{k}^{l} g_{l j}$ définit un tenseur de type $(1, 1)$ . Que deviennent ses composantes en base orthonormée ?

$C ~_{ab} = B ~_{ba} = \frac{\partial x ^{j}}{\partial y ^{b}} \frac{\partial x ^{i}}{\partial y ^{a}} B_{j i} = \frac{\partial x ^{i}}{\partial y ^{a}} \frac{\partial x ^{j}}{\partial y ^{b}} C_{ij}$ : c'est bien la loi d'un tenseur $(0, 2)$ . La permutation porte sur deux indices de même niveau.
Soit $P = (1002)$ la matrice de passage. Un tenseur $(1, 1)$ se transforme selon $[T ~] = P^{- 1} [T] P$ .

$[T ~] = (0020)$ , dont la transposée est $(0200)$ .
Appliquée à $[S] = (0100)$ , la loi tensorielle donnerait $P^{- 1} [S] P = (0 \frac{1}{2} 00)$ .
Les deux résultats diffèrent : les nombres « transposés » ne se transforment pas comme un tenseur, donc l'échange d'un exposant et d'un indice ne produit pas un tenseur — comme l'annonçait l'avertissement de la section 2.3.

On descend l'exposant avec $g$ , on échange deux indices de même niveau, puis on remonte avec $g^{- 1}$ : chaque étape est tensorielle, donc le résultat aussi. En base orthonormée, $g_{ij} = δ_{ij}$ et $(T^{t})_{j}^{i} = T_{i}^{j}$ : on retrouve la transposée usuelle. C'est l'adjoint de $T$ pour le produit scalaire, ce qui explique que la transposition « marche » en base orthonormée.