calcul tensoriel (école d'ingénieur) · Chapitre 2 · Exercice de TD

Plaque tournant autour de sa diagonale

Algèbre tensorielle · niveau 2

Énoncé

Une plaque rectangulaire homogène, de masse $m$ et de côtés $a$ (selon $x^{1}$ ) et $b$ (selon $x^{2}$ ), tourne à la vitesse angulaire $ω$ autour de sa diagonale. En son centre et dans les axes des côtés, son tenseur d'inertie est $diag (\frac{m b ^{2}}{12}, \frac{m a ^{2}}{12}, \frac{m ( a ^{2} + b ^{2} )}{12})$ .

Calculer le moment cinétique $L$ et l'énergie cinétique $E_{c} = \frac{1}{2} I_{ij} ω^{i} ω^{j}$ .
Pour $a = 2 b$ , calculer l'angle entre $L$ et $ω$ . Dans quel cas $L$ est-il colinéaire à $ω$ ? Interpréter.

Corrigé

Avec $d = a^{2} + b^{2}$ et $ω = \frac{ω}{d} (a, b, 0)$ : $L = \frac{m ab ω}{12 d} (b, a, 0)$ et $E_{c} = \frac{m a ^{2} b ^{2} ω ^{2}}{12 ( a ^{2} + b ^{2} )}$ .
$cos (L, ω) = \frac{ab + ba}{a ^{2} + b ^{2}} = \frac{2 ab}{a ^{2} + b ^{2}}$ ; pour $a = 2 b$ : $\frac{4}{5}$ , soit un angle de $36, 9^{\circ}$ . $L$ est colinéaire à $ω$ si et seulement si $a = b$ : pour une plaque carrée, $I_{11} = I_{22}$ et toute direction du plan est principale, en particulier la diagonale. Sinon, la diagonale n'est pas un axe principal : la plaque est dynamiquement déséquilibrée, comme l'haltère de l'exemple 2.25.

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