Produit vectoriel en notation indicielle — exercice corrigé de calcul tensoriel (école d'ingénieur) (chapitre 2)

Produit vectoriel en notation indicielle

Algèbre tensorielle · niveau 2

Énoncé

Montrer que $⟨ a, a \land b ⟩ = 0$ en utilisant seulement l'antisymétrie de $ε$ .
Montrer que $⟨ a \land b, c \land d ⟩ = ⟨ a, c ⟩ ⟨ b, d ⟩ - ⟨ a, d ⟩ ⟨ b, c ⟩$ , et en déduire l'identité de Lagrange $∥ a \land b ∥^{2} = ∥ a ∥^{2} ∥ b ∥^{2} - ⟨ a, b ⟩^{2}$ .
Une force $F = (0, 0, 5)$ N s'applique au point de rayon-vecteur $x = (1, 2, 0)$ m. Calculer son moment $M_{i} = ε_{ij k} x_{j} F_{k}$ en $O$ , et vérifier qu'il est orthogonal à $x$ et à $F$ .

Corrigé

$⟨ a, a \land b ⟩ = ε_{ij k} a_{i} a_{j} b_{k}$ , contraction de $ε$ , antisymétrique en $(i, j)$ , avec $a_{i} a_{j}$ , symétrique. Notons $S$ cette somme : renommer $i \leftrightarrow j$ ne la change pas, mais donne $S = ε_{j ik} a_{j} a_{i} b_{k} = - ε_{ij k} a_{i} a_{j} b_{k} = - S$ , donc $S = 0$ .
Par la proposition 2.9,

$⟨ a \land b, c \land d ⟩ = ε_{ij k} a_{j} b_{k} ε_{i l m} c_{l} d_{m} = (δ_{j l} δ_{k m} - δ_{j m} δ_{k l}) a_{j} b_{k} c_{l} d_{m} = (a_{j} c_{j}) (b_{k} d_{k}) - (a_{j} d_{j}) (b_{k} c_{k}) .$

Avec $c = a$ et $d = b$ : $∥ a \land b ∥^{2} = ∥ a ∥^{2} ∥ b ∥^{2} - ⟨ a, b ⟩^{2}$ .

$M = (x_{2} F_{3} - x_{3} F_{2}, x_{3} F_{1} - x_{1} F_{3}, x_{1} F_{2} - x_{2} F_{1}) = (10, - 5, 0)$ N $\cdot$ m, et $⟨ M, x ⟩ = 10 - 10 = 0$ , $⟨ M, F ⟩ = 0$ .