Rosette de jauges de déformation — exercice corrigé de calcul tensoriel (école d'ingénieur) (chapitre 2)

Rosette de jauges de déformation

Algèbre tensorielle · niveau 2

Énoncé

Pour mesurer les déformations à la surface d'un tablier de pont, on colle une rosette de trois jauges orientées à $0^{\circ}$ , $4 5^{\circ}$ et $9 0^{\circ}$ de l'axe $x^{1}$ . Une jauge de direction unitaire $n$ mesure l'allongement relatif $ϵ (n) = ϵ_{ij} n^{i} n^{j}$ .

Justifier cette formule à partir de la variation de l'élément de longueur (section 2.6), puis exprimer $ϵ (θ)$ pour $n = (cos θ, sin θ)$ .
Les jauges indiquent $ϵ_{a} = 500$ , $ϵ_{b} = 300$ et $ϵ_{c} = - 100$ (en $μ$ m/m). En déduire $ϵ_{11}$ , $ϵ_{22}$ et $ϵ_{12}$ .
Calculer les déformations principales et l'angle de leurs directions avec l'axe $x^{1}$ .

Corrigé

Un petit segment $d x = d s n$ voit sa longueur au carré passer de $d s^{2}$ à $d s^{2} + 2 ϵ_{ij} d x^{i} d x^{j} = d s^{2} (1 + 2 ϵ_{ij} n^{i} n^{j})$ ; au premier ordre, sa longueur est multipliée par $1 + ϵ_{ij} n^{i} n^{j}$ . D'où $ϵ (θ) = ϵ_{11} cos^{2} θ + 2 ϵ_{12} sin θ cos θ + ϵ_{22} sin^{2} θ$ .
$ϵ_{11} = ϵ (0) = 500$ , $ϵ_{22} = ϵ (9 0^{\circ}) = - 100$ , et $ϵ (4 5^{\circ}) = \frac{1}{2} (ϵ_{11} + ϵ_{22}) + ϵ_{12} = 300$ donne $ϵ_{12} = 100$ (en $μ$ m/m).
Les valeurs propres de $(500100 100 - 100)$ sont $200 \pm 30 0^{2} + 10 0^{2}$ , soit $516$ et $- 116$ $μ$ m/m, dans les directions $tan 2 θ_{p} = \frac{2 \cdot 100}{500 + 100} = \frac{1}{3}$ , soit $θ_{p} \approx 9, 2^{\circ}$ et $99, 2^{\circ}$ .