Symétries — exercice corrigé de calcul tensoriel (école d'ingénieur) (chapitre 2)

Symétries

Algèbre tensorielle · niveau 2

Énoncé

Montrer que si $T_{ij} = T_{j i}$ dans une base, alors $T ~_{ab} = T ~_{ba}$ dans toute autre base.
Décomposer $T_{ij} = a_{i} b_{j}$ en parties symétrique et antisymétrique, pour $a = (1, 0, 0)$ et $b = (0, 1, 0)$ .
En dimension 3, combien de composantes indépendantes possède un tenseur de type $(0, 3)$ entièrement antisymétrique ? entièrement symétrique ?

$T ~_{ba} = T_{ij} \frac{\partial x ^{i}}{\partial y ^{b}} \frac{\partial x ^{j}}{\partial y ^{a}} = T_{j i} \frac{\partial x ^{j}}{\partial y ^{b}} \frac{\partial x ^{i}}{\partial y ^{a}}$ (renommage des indices muets) $= T_{ij} \frac{\partial x ^{i}}{\partial y ^{a}} \frac{\partial x ^{j}}{\partial y ^{b}} = T ~_{ab}$ (symétrie de $T$ ).
Seul $T_{12} = 1$ est non nul. Partie symétrique : $T_{(12)} = T_{(21)} = \frac{1}{2}$ ; partie antisymétrique : $T_{[12]} = \frac{1}{2}$ , $T_{[21]} = - \frac{1}{2}$ ; toutes les autres composantes sont nulles.
Antisymétrique : une composante est nulle dès que deux indices sont égaux, et les autres se déduisent de $T_{123}$ au signe près : 1 composante (c'est la structure du produit mixte). Symétrique : autant que de multi-ensembles de 3 éléments pris dans ${1, 2, 3}$ , soit $(3 3 + 2) = 10$ composantes.