Tenseurs décomposables — exercice corrigé de calcul tensoriel (école d'ingénieur) (chapitre 2)

Tenseurs décomposables

Algèbre tensorielle · niveau 2

Énoncé

Soit $(e_{1}, e_{2})$ une base de $E = R^{2}$ , et $X = e_{1} + 3 e_{2}$ , $Y = 2 e_{1} - e_{2}$ .

Déterminer les composantes de $X \otimes Y$ dans la base $(e_{i} \otimes e_{j})$ de $E \otimes E$ . Que vaut le déterminant de la matrice de ses composantes ?
Montrer qu'un tenseur $T = T^{ij} e_{i} \otimes e_{j}$ de $E \otimes E$ est un produit $a \otimes b$ de deux vecteurs si et seulement si $det [T^{ij}] = 0$ . Ce critère dépend-il de la base ?
Le tenseur $U = 5 e_{1} \otimes e_{1} + 12 e_{2} \otimes e_{1} - e_{2} \otimes e_{2}$ est-il le produit tensoriel de deux vecteurs de $E$ ?
Montrer que $U$ est la somme de $X \otimes Y$ et d'un tenseur $W$ que l'on déterminera. $W$ est-il un produit tensoriel ? Lequel ?

$(X \otimes Y)^{ij} = X^{i} Y^{j}$ : $X \otimes Y = 2 e_{1} \otimes e_{1} - e_{1} \otimes e_{2} + 6 e_{2} \otimes e_{1} - 3 e_{2} \otimes e_{2}$ , de matrice $(26 - 1 - 3)$ , de déterminant nul.
Si $T = a \otimes b$ , la matrice $[T^{ij}] = [a^{i} b^{j}]$ a ses deux lignes proportionnelles à $b$ : son déterminant est nul. Réciproquement, si $det [T^{ij}] = 0$ et $T \neq = 0$ , la matrice est de rang 1, donc de la forme $a b^{T}$ , et $T = a \otimes b$ (si $T = 0$ , $T = 0 \otimes 0$ ). Dans une autre base, $[T ~] = A^{- 1} [T] (A^{- 1})^{T}$ , donc $det [T ~] = det [T] / (det A)^{2}$ : la nullité du déterminant ne dépend pas de la base.
$[U^{ij}] = (512 0 - 1)$ et $det = - 5 \neq = 0$ : $U$ n'est pas un produit de deux vecteurs.
$W = U - X \otimes Y$ a pour matrice $(3612) = (12) (31)$ , de déterminant nul : $W = (e_{1} + 2 e_{2}) \otimes (3 e_{1} + e_{2})$ (décomposition unique à un facteur près, $W = (λa) \otimes (b / λ)$ ). Ainsi $U = X \otimes Y + (e_{1} + 2 e_{2}) \otimes (3 e_{1} + e_{2})$ : tout tenseur de $E \otimes E$ en dimension 2 est une somme d'au plus deux produits.